Définitions : Types particuliers de matrices
Exemple fondamental
Montrer que toute matrice carrée de $\mathcal{M}_{n}(\R)$ se décompose de manière unique en la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.
Définition : Trace
On appelle trace d'une matrice $A=(a_{i,j})$ de $\mathcal{M}_{n}(\R)$ la somme de ses éléments diagonaux :
$$\ds\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}{a_{i,i}}$$
Exemple fondamental (mais hors programme)
Montrer que :
$$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n}(\R)^{2},\;\mathrm{tr}(BA)=\mathrm{tr}(AB)$$
Remarque : L'égalité est même encore valide lorsque $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ et $B\in\mathcal{M}_{p,n}(\R)$.
Théorème : Linéarité de la trace
La trace est une forme linéaire sur $\mathcal{M}_{n}(\R)$ :
$$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n}(\R)^{2},\;\forall(\lambda,\mu)\in\R^{2},\;\mathrm{tr}(\lambda A+\mu B)=\lambda\,\mathrm{tr}(A)+\mu\,\mathrm{tr}(B)$$
Définitions : Puissances et polynômes d'une matrice carrée
Théorème : Propriété des puissances et des polynômes d'une matrice carrée
Soit $n\in\N^*$.
Théorème : Formule du binôme de Newton
Soit $(A,B)\in\mathcal{M}_{n}(\R)^{2}$ tel que $\boxed{AB=BA}$. Alors :
$$\ds\forall p\in\N,\ (A+B)^{p}=\sum_{k=0}^{p}{\binom{p}{k}A^{k}B^{p-k}}=\sum_{k=0}^{p}{\binom{p}{k}A^{p-k}B^{k}}$$
Définition : Inverse d'une matrice carrée
Théorème : Unicité de l'inverse
Théorème : Propriétés de l'inverse
Soit $(A,B)\in\mathcal{GL}_{n}(\R)^{2}$, $\lambda\in\R^{*}$ et $(p,q)\in\N^{2}$.
Remarque
En général, déterminer l'inverse d'une matrice carrée d'ordre $n$ est rarement très simple puisqu'il s'agit de déterminer simultanément $n^{2}$ réels ! On a toutefois quelques cas particuliers.
Théorème : Matrices carrées inversible «à vue d'oeil»
Remarque
En pratique, deux méthodes sont possibles pour déterminer l'inverse éventuel :
Définition : Matrices semblables
Théorème : Invariance de la trace par similitude
Deux matrices semblables ont la même trace. Autrement dit :
$$\ds\forall A\in\mathcal{M}_{n}(\R),\;\forall P\in\mathcal{GL}_{n}(\R),\;\mathrm{tr}(P^{-1}\,A\,P)=\mathrm{tr}(A)$$