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Système linéaires

Définitions : Système et système homogène

Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $B\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)$.

On appelle système linéaire l'équation $AX=B$ d'inconnue $X\in\mathcal{M}_{p,1}(\K)$. La matrice $A$ est la matrice associée à ce système.
Le système linéaire est dit homogène si et seulement $B$ est la matrice nulle de $\mathcal{M}_{n,1}(\K)$.

Théorème : Nombre de solutions d'un système linéaire

Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $B\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)$.

Le système linéaire homogène $AX=\Theta$ admet soit une unique solution (la solution nulle), soit une infinité de solutions (un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{p,1}(\K)$ qui contient en particulier la solution nulle).
Soit $X_{0}$ une solution du système linéaire $AX=B$. Alors $X$ est solution de ce système si et seulement si $X-X_{0}$ est solution du système linéaire homogène associé.
En conséquence, le système linéaire $AX=B$ admet soit aucune solution, soit une unique solution, soit une infinité de solutions.

resolution_systeme.sce

// Résolution de l'équation AX=B
 
A=[1 4 ; 1 0 ; 1 2 ; 1 1] ; B=[1 ; 2 ; 3 ; 4] // par exemple
 
[n,p]=size(A) ; r=rank(A)
 
if (n==p)&(r==n) then
    X=inv(A)*B
    disp("Une solution unique :") ; disp(X)
else
    [X,kerA]=linsolve(A,-B)
    if X==[] then
        disp("Pas de solution")
    elseif kerA==[] then
        disp("Une solution unique :") ; disp(X)
    else
        disp("Solution particulière :") ; disp(X)
        disp("À une combinaison linéaire près de :") ; disp(kerA)
    end
end

Théorème : Lien avec les matrices inversibles

Une matrice $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ est inversible si et seulement si le système linéaire $AX=B$, d'inconnue $X\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)$, admet une unique solution pour tout $B\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)$.

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