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math:2:logique

Logique

Rappel : Alphabet grec

$\alpha$ alpha
$\beta$ beta
$\gamma$ gamma $\Gamma$ Gamma
$\delta$ delta $\Delta$ Delta
$\varepsilon$ ou $\epsilon$ epsilon
$\zeta$ zeta
$\eta$ eta
$\theta$ theta $\Theta$ Theta
$\lambda$ lambda $\Lambda$ Lambda
$\mu$ mu
$\nu$ nu
$\pi$ pi $\Pi$ Pi
$\rho$ rho
$\sigma$ sigma $\Sigma$ Sigma
$\tau$ tau
$\varphi$ ou $\phi$ phi $\Phi$ Phi
$\chi$ chi
$\psi$ psi $\Psi$ Psi
$\omega$ omega $\Omega$ Omega

Définitions : Propositions

  • Pour ce qui nous concerne, une proposition est une phrase mathématique (donc avec au moins un sujet et un verbe) qui est soit vraie, soit fausse.
  • La technique de démonstration par l'absurde consiste à supposer vrai la négation d'une proposition et de raisonner jusqu'à obtenir une contradiction avec les hypothèses faite.

Définitions : Connecteurs logiques

Soit P et Q deux propositions.

  • La proposition (non P) est la négation au sens grammatical de la proposition P.
  • La proposition (P et Q) est la proposition qui est vraie si et seulement si les deux propositions P et Q sont vraies (et fausse si et seulement si l'une, au moins, des deux est fausse).
  • La proposition (P ou Q) est la proposition qui est vraie si et seulement si l'une au moins des deux propositions P et Q est vraie (et fausse si et seulement si les deux sont fausses).

Remarques
Ces connecteurs logiques non, et, ou sont donnés dans l'ordre décroissant de priorité (utiliser des parenthèses si nécessaire dans l'écriture des propositions).

Définitions : Liens logiques entre deux propositions

Soit P et Q deux propositions.

  • L'implication (P⇒Q) est la proposition qui est vraie si et seulement si Q est vraie ou (non P) est vraie.
    Autre formulation : pour que P soit vraie, il est nécessaire que Q le soit.
  • La contraposée de la proposition (P⇒Q) est la proposition (non Q)⇒(non P).
  • La réciproque de la proposition (P⇒Q) est la proposition Q⇒P (ou P⇐Q).
    Autre formulation : pour que P soit vraie, il est suffisant que Q le soit.
  • L'équivalence (P⇔Q) des propositions P et Q est la proposition (P⇒Q) et (Q⇒P).
    Autre formulation : pour que P soit vraie, il est nécessaire et suffisant que Q le soit.

Remarques : méthodes de démonstration

  • La négation s'utilise essentiellement dans les raisonnements par l'absurde.
  • La contraposée s'utilise dans une variante du raisonnement par l'absurde.

Théorème : Lois de Morgan et distributivité

Soit P, Q et R trois propositions. On a :
$$\text{non}\,(P\,\text{ou}\, Q)=(\text{non}\, P)\,\text{et}\,(\text{non}\, Q)$$

$$\text{non}\,(P\,\text{et}\, Q)=(\text{non}\, P)\,\text{ou}\,(\text{non}\, Q)$$

$$ (P\,\text{ou}\, Q)\,\text{et}\, R=(P\,\text{et}\, R)\,\text{ou}\,(Q\,\text{et}\, R)$$

$$(P\,\text{et}\, Q)\,\text{ou}\, R=(P\,\text{ou}\, R)\,\text{et}\,(Q\,\text{ou}\, R)$$

Remarque : méthode de démonstration
Pour démontrer que $n$ propositions $P_{1},P_{2},\dots P_{n}$ sont équivalentes, il est nécessaire et suffisant de prouver successivement les $n$ implications :
$$P_{1}\implies P_{2}$$$$P_{2}\implies P_{3}$$$$\vdots$$$$P_{n-1}\implies P_{n}$$$$P_{n}\implies P_{1}$$

Définitions : Quantificateurs

On utilise deux symboles pour faciliter l'écriture des propositions: le quantificateur universel, noté $\forall$, qui s'intéresse à l'intégralité d'une collection et le quantificateur existentiel, noté $\exists$, qui s'intéresse à l'un des éléments d'une collection.

Remarques : méthodes de démonstration

  • Pour démontrer une proposition du type «$\forall x\in\R,\ \dots$», on commence la rédaction de sa démonstration par la phrase « Soit un réel $x$.» ou bien « Soit $x\in\R$.» puis on démontre que la proposition est vraie pour cet $x$ particulièrement quelconque.
  • Pour démontrer une proposition du type «$\exists x\in\R\;/\;\dots$», il suffit, soit d'expliciter un tel réel $x$ (c'est à dire déterminer sa valeur), soit justifier théoriquement (à l'aide d'un ou plusieurs théorèmes) qu'il est possible d'en trouver un (sans nécessairement être capable d'en donner une valeur).
  • Pour démontrer une proposition du type «$\exists!x\in\R\;/\;\dots$», on peut utiliser la méthode dite d'analyse-synthèse: on suppose l'existence d'un tel objet et on déduit de toutes les hypothèse le seul objet qui convient (partie « analyse » du problème) ; ensuite on vérifie que l'objet obtenu précédemment répond bien aux contraintes du problème (partie « synthèse » du problème).

Autres remarques :

  • Attention à ne pas permuter par mégarde les quantificateurs $\forall$ et $\exists$ car cela change le sens de la proposition écrite.
  • La négation de la proposition $\forall x\in E,\ P(x)$ est la proposition $\exists x\in E\ /\ \text{non}\, P(x)$.
  • La négation de la proposition $\exists x\in E,\ P(x)$ est la proposition $\forall x\in E\ /\ \text{non}\, P(x)$.
math/2/logique.txt · Dernière modification: 2020/05/10 22:13 par Alain Guichet