Nombres complexes et trigonométrie
Définition
- On appelle $\mathrm{i}$ le « nombre » vérifiant l'égalité : $\mathrm{i}^{2}=-1$.
- On appelle ensemble des nombres complexes l'ensemble: $\C=\{a+b\cdot\mathrm{i}\,|\,(a,b)\in\R^{2}\}$.
- Soit $z=a+b\cdot\mathrm{i}$ un complexe, noté aussi $a+b\mathrm{i}$ (ou encore$a+\mathrm{i} b$).
- L'écriture $z=a+b\cdot\mathrm{i}$ se nomme forme algébrique du complexe $z$.
- Le réel $a$ se nomme partie réelle de $z$ et on note : $a=\Re(z)$.
- Le réel $b$ se nomme partie imaginaire de $z$ et on note : $b=\Im(z)$.
- Si $b=0$ alors le complexe $z$ est réel (en particulier $\R\subset\C$).
- Si $a=0$ alors le complexe $z$ est dit imaginaire pur.
- On appelle module du complexe $z$ le réel : $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.
Définition : Opérations dans $\C$
- Addition :
$$\forall(a,b,a',b')\in\R^{4},\;(a+b\cdot\mathrm{i})+(a'+b'\cdot\mathrm{i})=(a+a')+(b+b')\cdot\mathrm{i}$$ - Multiplication externe par un réel :
$$\forall(\lambda,a,b)\in\R^{3},\;\lambda\cdot(a+b\cdot\mathrm{i})=(\lambda a)+(\lambda b)\cdot\mathrm{i}$$ - Conjugaison :
$$\forall(a,b)\in\R^{2},\;\overline{a+b\cdot\mathrm{i}}=a+(-b)\cdot\mathrm{i}$$ - Multiplication interne des complexes :
$$\forall(a,b,a',b')\in\R^{4},\;(a+b\cdot\mathrm{i})\times(a'+b'\cdot\mathrm{i})=(aa'-bb')+(ab'+a'b)\cdot\mathrm{i}$$
Théorème : Propriétés des opérations dans $\C$
- $\C$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension 2 pour les opérations $+$ et $\cdot$.
- La multiplication des complexes généralise l'opération de multiplication externe donc on notera les deux opérations de la même manière et même, on se dispensera d'écrire les symboles multiplicatifs dans la notation algébrique des nombres complexes et les différents produits.
- Tout complexe non nul admet un inverse pour la multiplication : $$\ds\forall z\ne0,\;\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}$$
- Formule du binôme de Newton :
$$\ds\forall n\in\N,\;\forall(z,z')\in\C^{2},\;(z+z')^{n}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}z^{k}z'^{n-k}}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}z^{n-k}z'^{k}}$$
Théorème : Trigonométrie et nombres complexes
- Soit $z$ un complexe non nul. Il existe un réel $\theta$ (non unique dans $\R$ mais unique dans $[0,2\pi[$), appelé argument de $z$, tel que :
$$\ds\cos(\theta)=\frac{\Re(z)}{|z|}\qquad\text{et}\qquad\sin(\theta)=\frac{\Im(z)}{|z|}$$ - Si $\theta$ est un argument de $z$ alors $\theta+2k\pi$ est un autre argument de $z$ pour tout entier relatif $k$.
Définition
On a ainsi une nouvelle écriture d'un nombre complexe non nul, dite forme trigonométrique :
$$z=|z|[\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)]$$
Théorème : Opérations et arguments
- Pour tout couple $(z,z')$ de complexes non nuls, on a :
$$\arg(-z)=\arg(z)+\pi+2k\pi$$$$\arg(\bar{z})=-\arg(z)+2k\pi$$ $$\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')+2k\pi$$ $$\ds\arg\left(\frac{1}{z}\right)=-\arg(z)+2k\pi$$ $$\ds\arg\left(\frac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')+2k\pi$$ * Formule de De Moivre :\\ $$\ds\forall n\in\Z,\;\forall\theta\in\R,\;\big[\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)\big]^{n}=\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)$$ </box> <box 100% green round | **Définition**> Admettant que $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)$ pour tout réel $\theta$, on appelle **forme exponentielle** du complexe non nul $z$ l'écriture :\\ $$z=|z|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$$En particulier, tout nombre complexe de module 1 est de la forme $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$.
<html><a name=“formule_d_euler”></a></html>
Théorème : Formules d'Euler
Pour tout réel $\theta$, on a :
$$\ds\cos(\theta)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2}$$
$$\ds\sin(\theta)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}$$
Remarque
Les formules d'Euler s'utilisent essentiellement pour « linéariser » les produits trigonométriques afin de déterminer ensuite des primitives de fonctions.
<html><a name=“relations_trigonometriques”></a></html>
Théorème : Relations trigonométriques
- Relation de Pythagore:
$$\ds\forall x\in\R,\;\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1$$ - Formules d'addition. Pour tout $(a,b)\in\R^{2}$, on a :
$$\ds\cos\left(a+b\right)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$$ $$\ds\cos\left(a-b\right)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$$ $$\ds\sin\left(a+b\right)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$$ $$\ds\sin\left(a-b\right)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$$ - Formules de duplication (cas $b=a$ dans les formules d'addition). Pour tout $a\in\R$, on a :
$$\ds\cos(2a)=2\cos^{2}(a)-1=1-2\sin^{2}(a)$$ $$\ds\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$$
Remarque
La relation de duplication $\cos(2a)=2\cos^{2}(a)-1$ s'utilise souvent sous la forme :
$$\ds\cos^{2}(a)=\frac{1}{2}\left(1+\cos(2a)\right)$$pour déterminer une primitive sur un intervalle de la fonction $x\mapsto\cos^{2}(x)$.
<html><a name=“racine_de_l_unite”></a></html>
Théorème : Racines de l'unité
- Pour $n\in\N^{*}$, l'équation $z^{n}=1$ admet $n$ solutions dans $\C$, les complexes $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{n}k}$ pour tout $k\in[\![0,n-1]\!]$.
Ces solutions sont appelées racines $\boldsymbol{n}$-ème de l'unité. - Si $n\geqslant2$ alors la somme des racines $n$-ème de l'unité est égale à 0.