Le polynôme $X^n-1$ admet au plus $n$ racines deux à deux distinctes dans $\mathbb{C}$ (cf plus loin). Les $n$ complexes proposés sont racines de ce polynôme et sont deux à deux distincts puisque leurs arguments sont différents modulo $2\pi$. On en déduit que l'on a bien toutes les racines et seulement les racines de l'unité.

Il s'agit juste de calculer une somme géométrique de raison $\mathrm{e}^{i\frac{2\pi}n}$ qui est différente de 1 lorsque $n\geqslant2$.