Supposons que $ad-bc\ne0$. On pose alors :
$$\ds C=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$Un calcul immédiat assure que $AC=CA=I$ donc que $A$ est inversible et que $\ds\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ est son inverse.
Supposons que $ad-bc=0$. Alors les colonnes de $A$ sont liées donc $\mathrm{rg}(A)<2$ et ainsi $A$ n'est pas inversible.

Calcul évident par définition du produit.

Par résolution de système.