On procède par récurrence pour la première égalité. Soit $\mathcal{H}(p)$ la proposition :
$$\ds (A+B)^{p}=\sum_{k=0}^{p}{\binom{p}{k}A^{k}B^{p-k}}$$

Au rang $p=0$, les deux membres de l'égalité sont égaux à la même matrice : $I_{n}$.

Soit $p\in\N$. Supposons que la proposition $\mathcal{H}(p)$ soit vraie. Alors :
$$\begin{array}{rcl} (A+B)^{p+1} & = & (A+B)^{p}(A+B) \\ & {\scriptstyle \overset{\mathcal{H}(p)}{{\textstyle =}}} & {\displaystyle \left(\sum_{k=0}^{p}{\binom{p}{k}A^{k}B^{p-k}}\right)(A+B)} \\ & = & {\displaystyle \sum_{k=0}^{p}{\binom{p}{k}A^{k}B^{p-k}A}+\sum_{k=0}^{p}{\binom{p}{k}A^{k}B^{p-k}B}}\\ & {\scriptstyle \overset{AB=BA}{{\textstyle =}}} & {\displaystyle \sum_{k=0}^{p}{\binom{p}{k}A^{k+1}B^{p-k}}+\sum_{k=0}^{p}{\binom{p}{k}A^{k}B^{p+1-k}}} \\ & {\scriptstyle \overset{k'=k+1}{{\textstyle =}}} & {\displaystyle \sum_{k'=1}^{p+1}{\binom{p}{k'-1}A^{k}B^{p+1-k}}+\sum_{k=0}^{p}{\binom{p}{k}A^{k}B^{p+1-k}}} \\ & = & {\displaystyle \binom{p}{p}A^{p+1}B^{0}+\sum_{k=1}^{p}{\left[\binom{p}{k-1}+\binom{p}{k}\right]A^{k}B^{p+1-k}}+\binom{p}{0}A^{0}B^{p+1}} \\ & = & {\displaystyle \binom{p+1}{p+1}A^{p+1}B^{0}+\sum_{k=1}^{p}{\binom{p+1}{k}A^{k}B^{p+1-k}}+\binom{p+1}{0}A^{0}B^{p+1}} \\ & = & {\displaystyle \sum_{k=0}^{p+1}{\binom{p+1}{k}A^{k}B^{p+1-k}}} \end{array}$$ donc la proposition $\mathcal{H}(p+1)$ soit vraie. On conclut par le théorème de récurrence.

La seconde égalité s'obtient par changement de variable ($k'=p-k$) et en se souvenant de la relation de symétrie des coefficients binomiaux :
$${\displaystyle \binom{p}{k}=\binom{p}{p-k}}$$