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math:2:serie_signe_qcq

Séries à termes de signe variable

Théorème : Propriétés des séries absolument convergentes

Soit $\ds\sum_{n\geqslant p}{u_{n}}$ une série à termes réels.
  • Si $\ds\sum{u_{n}}$ converge absolument alors elle peut s'écrire comme différence de deux séries positives convergentes (prendre $v_{n}=|u_{n}|+u_{n}$ et $w_{n}=|u_{n}|$ par exemple) et alors la série $\ds\sum{u_{n}}$ converge.
  • Si la série $\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{n}}$ converge absolument alors, pour toute bijection $\varphi:\N\to\N$, la série $\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{\varphi(n)}}$ converge absolument et on a :
    $$\ds\sum_{n=0}^{+\infty}{u_{\varphi(n)}}=\sum_{n=0}^{+\infty}{u_{n}}$$ autrement dit, dans le cas d'une série absolument convergente, on peut changer l'ordre des termes pour le calcul de la somme de la série.

Remarque :

Si la série $\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{n}}$ est semi-convergente de somme $S$ alors, pour tout $L\in\R$, on peut trouver une bijection $\varphi:\N\to\N$ telle que $\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{\varphi(n)}}$ est convergente de somme $L$ (on peut aussi obtenir “$L=+\infty$” et “$L=-\infty$”). La condition de convergence absolue pour changer l'ordre des termes de la sommation tout en gardant le résultat final est donc une condition suffisante.

Théorème : Théorème de comparaison (suite)

Soit $(u_{n})_{n\geqslant0}$ une suite à termes de signe quelconque et $(v_{n})_{n\geqslant0}$ une suite à termes positifs telles que : $u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o(v_{n})$.
Si la série $\ds\sum_{n\geqslant p}{v_{n}}$ converge alors la série $\ds\sum_{n\geqslant p}{u_{n}}$ converge absolument.

Théorème : Séries géométriques et ses dérivées

  • La série géométrique $\ds\sum_{n\geqslant0}{x^{n}}$ est convergente si et seulement si $|x|<1$, la convergence est alors absolue et on a :
    $$\ds\forall x\in\left]-1,1\right[,\;\sum_{n=0}^{+\infty}{x^{n}}=\frac{1}{1-x}$$
  • Soit $k\in\N^{*}$ ($k\in\{1,2\}$ dans le programme officiel).
    La série géométrique dérivée d'ordre $\boldsymbol{k}$, $\ds\sum_{n\geqslant k}{n(n-1)\dots(n-k+1)x^{n-k}}$, est convergente si et seulement si $|x|<1$, la convergence est alors absolue et on a :
    $$\ds\forall x\in\left]-1,1\right[,\;\sum_{n=k}^{+\infty}{n(n-1)\dots(n-k+1)x^{n-k}}=\sum_{n=0}^{+\infty}{(n+k)(n+k-1)\dots(n+1)x^{n}}=\frac{k!}{(1-x)^{k+1}}$$
  • En conséquence, on a :
    $$\ds\forall k\in\N^{*},\;\forall x\in\left]-1,1\right[,\;\sum_{n=k}^{+\infty}{\binom{n}{k}x^{n-k}}=\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{n+k}{k}x^{n}}=\frac{1}{(1-x)^{k+1}}$$

Théorème : Séries exponentielles

La série exponentielle $\ds\sum_{n\geqslant0}{\frac{x^{n}}{n!}}$ converge absolument pour tout réel $x$ et on a : $$\ds\sum_{n=0}^{+\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}=\mathrm{e}^{x}$$

math/2/serie_signe_qcq.txt · Dernière modification: 2020/05/14 14:24 par Alain Guichet