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math:2:demo:th_compa_o

Preuve : convergence par comparaison de négligeable

On suppose que : $(v_n)_{n\geqslant p}$ est une suite positive, $\ds\sum_{n\geqslant p}{v_{n}}$ converge et que $\ds u_n \underset{n\to+\infty}{=} o(v_n)$.

Comme $\ds u_{n}\underset{n\to+\infty}{=} o(v_{n})$ alors il existe une suite $(\varepsilon_{n})$ convergente de limite $0$ et un rang $n_{0}$ tels que : $$\ds\forall n\geqslant n_{0},\;u_{n}=\varepsilon_{n}v_{n}$$ La limite nulle permet d'écrire qu'il existe un rang $n_{1}\geqslant n_{0}$ tel que : $$\ds \forall n\geqslant n_{1},\;-\frac{1}{2}\leqslant\varepsilon_{n}\leqslant\frac{1}{2}$$ Alors : $$\ds\forall n\geqslant n_{1},\;\left|u_{n}\right|\leqslant\frac{1}{2}v_{n}$$ On en déduit que, comme la série $\ds\sum_{n\geqslant p}{v_{n}}$ converge, alors $\ds\sum_{n\geqslant n_{1}}{v_{n}}$ converge donc $\ds\sum_{n\geqslant n_{1}}{\frac{1}{2}v_{n}}$ converge d'où $\ds\sum_{n\geqslant n_{1}}{\left|u_{n}\right|}$ converge elle-aussi ce qui entraîne la convergence absolue de $\ds\sum_{n\geqslant n_{1}}{u_{n}}$ donc celle de $\ds\sum_{n\geqslant p}{u_{n}}$.

math/2/demo/th_compa_o.txt · Dernière modification : 2020/05/14 11:51 de Alain Guichet