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Convergence et divergence

Définition : Limite et convergence

Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite réelle.

On dit que la suite $(u_{n})$ admet le réel $\boldsymbol{\ell}$ pour limite si et seulement si :
$$\forall\varepsilon>0,\;\exists n_{0}\geqslant p\;/\;\forall n\geqslant n_{0},\;|u_{n}-\ell|\leqslant\varepsilon$$On note alors $\ds \lim_{n\to+\infty}{u_{n}}=\ell$ et on dit que la suite $(u_{n})$ converge vers le réel $\ell$.
On dit que la suite $(u_{n})$ admet $\boldsymbol{+\infty}$ (resp. $\boldsymbol{-\infty}$) pour limite si et seulement si :
$$\forall M>0\;(\text{resp}\;<0),\;\exists n_{0}\geqslant p\;/\;\forall n\geqslant n_{0},\; u_{n}\geqslant M\;(\text{resp}\;\leqslant M)$$ On note alors $\ds \lim_{n\to+\infty}{u_{n}}=+\infty\;(\text{resp}\;-\infty)$ et on dit que la suite $(u_{n})$ diverge.
On dit que la suite $(u_{n})$ n'admet pas de limite si et seulement si elle ne converge pas et n'admet pas $\pm\infty$ pour limite. Dans ce cas aussi, on dit qu'elle diverge.

Remarque
Revoir dans le chapitre sur les études de fonctions les opérations et propriétés sur les limites.

Théorème : Unicité

Si une suite admet une limite alors celle-ci est unique.

Théorème : Critère de majoration/minoration

Toute suite convergente est bornée.

Remarque
<html><font color=“red”>Attention, la limite d'une suite n'est pas nécessairement le minorant ou le majorant dont on dispose.</font></html>

Exercice : Condition nécessaire de convergence des suites récurrentes

Soit $f\colon I\to I$ une application continue sur $I$ où $I$ est un intervalle fermé de $\R$. Soit $(u_{n})_{n\geqslant0}$ une suite définie par:
$$u_{0}\in I\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\N,\; u_{n+1}=f(u_{n})$$

Montrer que si la suite $u$ converge alors sa limite $\ell$ est un point fixe de $f$ sur $I$ c'est à dire que $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$ sur $I$.
Que peut-on dire de la suite $u$ lorsque $f$ n'admet pas de point fixe sur $I$ ?

Exercice
Soit $(u_{n})_{n\geqslant0}$ une suite réelle.

Théorème : moyenne de Cesaro. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose :
$$\ds v_{n}=\frac{u_{1}+\dots+u_{n}}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{u_{k}}$$
1. On suppose que la suite $(u_{n})$ converge vers $0$.
  Démontrer que la suite $(v_{n})_{n\geqslant1}$ converge aussi vers $0$.
  Indication : on pourra choisir un réel $\varepsilon>0$ puis couper la somme $v_{n}$ en deux sommes pour des entiers $n$ assez grands grâce à la convergence de la suite $(u_{k})_{k\geqslant1}$.
2. On suppose maintenant que la suite $(u_{n})$ converge vers un réel $\ell$. Déduire de ce qui précède que la suite $(v_{n})_{n\geqslant1}$ converge aussi vers $\ell$.
3. Que peut-on dire de la suite $(v_{n})$ lorsque $(u_{n})$ diverge vers $+\infty$ ?
Étude de la réciproque.
1. On suppose dans cette seule question que $(u_{n})$ est monotone et que $(v_{n})$ admet une limite. Montrer que $(u_{n})$ admet la même limite.
2. 1. Que peut-on dire dans le cas où $u_{n}=(-1)^{n}$ pour tout entier $n\geqslant1$ ?
  2. Que peut-on dire dans cas où $u_{n}=\frac{1}{n}$ pour tout entier $n\geqslant1$ ?
  3. Conclure.
Lemme de l'escalier et applications.
1. (lemme de l'escalier) Soit $\ell\in\bar{\R}$. En utilisant le théorème de Cesaro, démontrer que :
  $$\ds\lim_{n\to+\infty}{(u_{n+1}-u_{n})}=\ell\quad\implies\quad\lim_{n\to+\infty}{\frac{u_{n}}{n}}=\ell$$
2. On suppose que :
  $$\forall n\in\N,\; u_{n}>0$$Déduire de la question qui précède que :
  $$\ds\lim_{n\to+\infty}{\frac{u_{n+1}}{u_{n}}}=\ell\quad\implies\quad\lim_{n\to+\infty}{\sqrt[n]{u_{n}}}=\ell$$
3. Déterminer alors les limites :
  $$\ds\lim_{n\to+\infty}{\sqrt[n]{\binom{2n}{n}}}\qquad\text{et}\qquad\lim_{n\to+\infty}{\frac{1}{n}\sqrt[n]{n(n+1)(n+2)\dots(n+n)}}$$

Théorème : Limite d'une suite monotone

Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite croissante (resp. décroissante). Alors :

$(u_{n})$ converge si et seulement si elle est majorée (resp. minorée),
$(u_{n})$ diverge vers $+\infty$ (resp. $-\infty$) si et seulement si elle n'est pas majorée (resp. minorée).

Exemple
Soit $(u_{n})_{n\geqslant0}$ la suite réelle définie par :
$$u_{0}=1\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\N,\; u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}+1}{u_{n}+1}$$

Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que :
$$\ds\forall x\in\R\setminus\{-1\},\;\frac{2x+1}{x+1}=a+\frac{b}{x+1}$$
En déduire que cette suite est bien définie et que :
$$\ds\forall n\in\N,\; u_{n}\in\left[1,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$$
Déterminer le sens de variation de cette suite.
En déduire la nature et la limite éventuelle de la suite $(u_{n})_{n\geqslant0}$.

Définition : Suites adjacentes

Deux suites sont dites adjacentes si et seulement si l'une est croissante, l'autre est décroissante et la différence des deux admet pour limite 0.

Exemple
Montrer que si $(u_{n})_{n\geqslant p}$ et $(v_{n})_{n\geqslant p}$ sont deux suites adjacentes telles que la suite $(u_{n})$ est croissante et la suite $(v_{n})$ est décroissante alors :
$$\forall n\geqslant p,\;\forall m\geqslant p,\; u_{m}\leqslant v_{n}$$

Théorème (admis) : Convergence des suites adjacentes

Deux suites adjacentes sont convergentes et admettent la même limite.

<html><a name=“pair_impair”></a></html> Exercice
Soit $(u_{n})_{n\geqslant0}$ une suite réelle. On dit que la suite $(v_{n})_{n\geqslant0}$ est extraite de la suite $(u_{n})$ si et seulement s'il existe une application $\varphi\colon\N\to\N$ strictement croissante telle que :
$$\forall n\in\N,\; v_{n}=u_{\varphi(n)}$$Par exemple, la suite $(u_{2n})_{n\geqslant0}$ est extraite de la suite $u$ et est appelée suite extraite des rangs pairs de la suite $u$. On définit de même la suite extraite des rangs impairs $(u_{2n+1})_{n\geqslant0}$.

Soit $\varphi\colon\N\to\N$ strictement croissante.
1. Montrer que : $\forall n\in\N,\;\varphi(n)\geqslant n$.
2. En déduire que si $(u_{n})_{n\geqslant0}$ converge vers le réel $\ell$ alors il en est de même de la suite $(u_{\varphi(n)})_{n\geqslant0}$.
3. Montrer de manière analogue que $si (u_{n})_{n\geqslant0}$ admet pour limite $+\infty$ (ou $-\infty$) alors il en est de même de la suite $(u_{\varphi(n)})_{n\geqslant0}$.
  On a ainsi démontrer le théorème suivant : Si une suite $u$ admet une limite alors toute suite extraite de $u$ admet une limite et cette limite est la même que celle de $u$.
4. Application : Montrer que la suite $\ds\left(\cos\left(n\frac{\pi}{6}\right)\right)_{n\geqslant0}$ diverge.
1. On suppose que les suites $(u_{2n})_{n\geqslant0}$ et $(u_{2n+1})_{n\geqslant0}$ convergent toutes les deux vers le même réel $\ell$. Démontrer que la suite $(u_{n})_{n\geqslant0}$ converge et admet $\ell$ pour limite.
2. On suppose que les suites $(u_{2n})_{n\geqslant0}$ et $(u_{2n+1})_{n\geqslant0}$ admettent toutes les deux pour limite $+\infty$. Démontrer que la suite $(u_{n})_{n\geqslant0}$ admet $+\infty$ pour limite.
3. Application : On pose $u_{0}=1$ et $\ds u_{n+1}=\frac{1}{1+u_{n}}$ pour tout entier naturel $n$. Montrer que la suite extraite des rangs pairs et celle des rangs impairs de $u$ sont adjacentes. En déduire la nature et la limite de la suite $u$.

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