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math:2:serie_positive

Séries à termes positifs

Théorème : Théorèmes de comparaisons (début)

Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ et $(v_{n})_{n\geqslant p}$ deux suites à termes positifs.
  • La série $\ds\sum_{n\geqslant p}{u_{n}}$ converge si et seulement si la suite des sommes partielle est majorée.
  • Si $u_{n}\leqslant v_{n}$ à partir d'un certain rang alors :
    • la convergence de la série $\ds\sum{v_{n}}$ implique la convergence de la série $\ds\sum{u_{n}}$,
    • la divergence de la la série $\ds\sum{u_{n}}$ implique la divergence de la série $\ds\sum{v_{n}}$.
  • En particulier, si $u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}$ alors les séries $\ds\sum{u_{n}}$ et $\ds\sum{v_{n}}$ sont de même nature.

Remarque
Il est illusoire de croire que si $u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}$ et s'il y a convergence de la série $\ds\sum{u_{n}}$ alors $\ds\sum_{n=0}^{+\infty}{u_{n}}\underset{n\to+\infty}{\sim}\sum_{n=0}^{+\infty}{v_{n}}$ (ce qui n'a aucun sens).

Théorème : Convergence des séries de Riemann

  • La série de Riemann $\ds\sum_{n\geqslant1}{\frac{1}{n^{\alpha}}}$ est convergente si et seulement si $\alpha>1$.
  • Dans les cas de divergence, on a :

$$\ds\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}\underset{n\to+\infty}{\sim}\ln(n)\qquad\text{et}\qquad\forall\alpha<1,\;\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^{\alpha}}}\underset{n\to+\infty}{\sim}\frac{n^{1-\alpha}}{1-\alpha}$$

Exemple

  1. Justifier la convergence de la série $\ds\sum_{n\geqslant1}{\frac{1}{n^{2}}}$.
  2. Montrer que les séries $\ds\sum_{n\geqslant1}{\frac{1}{(2n)^{2}}}$ et $\ds\sum_{n\geqslant1}{\frac{1}{(2n-1)^{2}}}$ convergent et exprimer leur somme en fonction de $\ds\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n^{2}}}$.
math/2/serie_positive.txt · Dernière modification: 2020/05/14 12:02 par Alain Guichet