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math:2:comp_asymp_suite

Comportement asymptotique des suites

Suites négligeables

Définition : Suite négligeable devant une autre suite

Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ et $(v_{n})_{n\geqslant p}$ deux suites réelles. On dit que la suite $(u_{n})$ est négligeable devant la suite $(v_{n})$ et on note $u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(v_{n}\right)$ si et seulement s'il existe une suite $(\varepsilon_{n})$ de limite 0 telle que :
$$\ds\exists n_{0}\geqslant p\;/\;\forall n\geqslant n_{0},\; u_{n}=\varepsilon_{n}v_{n}$$

Exemples

  1. Soit $a<b$ réels. Montrer que $n^{a}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(n^{b}\right)$.
  2. Soit $0<a<b$ réels. Montrer que $a^{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(b^{n}\right)$.
  3. Montrer qu'une suite est négligeable devant une suite constante non nulle si et seulement si elle admet 0 pour limite (autrement dit, la notation $u_n\underset{n\to+\infty}{=}o\left(1\right)$ désigne une suite $(u_n)$ de limite nulle).
  4. Montrer que si $u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(v_n\right)$ et si $v_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(w_n\right)$ alors $u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(w_n\right)$.

Théorème : Caractérisation

Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ et $(v_{n})_{n\geqslant p}$ deux suites réelles. On suppose que la suite $(v_{n})$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang. Alors :
$$\ds u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(v_n\right)\qquad\iff\qquad\lim_{n\to+\infty}{\frac{u_{n}}{v_{n}}}=0$$

Exemples
Soit $a\in\left]1,+\infty\right[$ et $b\in\left]0,+\infty\right[$. Montrer que :
$$1\underset{n\to+\infty}{=}o\left(\ln(n)\right)\qquad\ln(n)\underset{n\to+\infty}{=}o\left(n^b\right)\qquad n^{b}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(a^n\right)\qquad a^{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(n!\right)$$

Théorème : Compatibilité avec les opérations sur les suites

Soit $(u_{n})_{n\geqslant p},\;(v_{n})_{n\geqslant p},\;(w_{n})_{n\geqslant p},\;(t_{n})_{n\geqslant p}$ quatre suites réelles.
  • Si $u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(v_n\right)$ et si $w_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(t_n\right)$ alors $u_{n}w_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(v_nt_n\right)$.
  • On suppose que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ne s'annulent pas à partir d'un certain rang. Alors :
    $$\ds u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(v_n\right)\qquad\implies\qquad\frac{1}{v_{n}}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(\frac{1}{u_{n}}\right)$$

Suites équivalentes

Définition : Suites équivalentes

Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ et $(v_{n})_{n\geqslant p}$ deux suites réelles. On dit que la suite $(u_{n})$ est équivalente à la suite $(v_{n})$ et on note $u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}$ si et seulement s'il existe une suite $(\alpha_{n})$ de limite 1 telle que :
$$\ds\exists n_{0}\geqslant p\;/\;\forall n\geqslant n_{0},\; u_{n}=\alpha_{n}v_{n}$$

Remarques

  • Dans la définition, on peut remplacer la suite $(\alpha_{n})$ de limite 1 par la suite $(1+\varepsilon_{n})$ avec $\lim\varepsilon_{n}=0.$
  • Il est faut de croire que $u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}\;\implies\;\ds\lim_{n\to+\infty}{(u_{n}-v_{n})}=0$.
    Exemples : $u_{n}=n+1$ et $v_{n}=n$ (écart constant non nul) et même $u_{n}=n^{2}+n$ et $v_{n}=n^{2}$ (écart de limite infinie).
  • Seule une suite stationnaire nulle est équivalente à la suite nulle.

Exemple
On suppose que $u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}$ et que $v_{n}\geqslant0$ pour tout entier $n$. Montrer que $u_{n}\geqslant0$ à partir d'un certain rang.

Théorème : Caractérisation

Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ et $(v_{n})_{n\geqslant p}$ deux suites réelles. On suppose que la suite $(v_{n})$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang. Alors :
$$u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}\qquad\iff\qquad\ds\lim_{n\to+\infty}{\frac{u_{n}}{v_{n}}}=1$$En conséquence, si $\ell$ un réel non nul alors :
$$u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}\ell\qquad\iff\qquad\ds\lim_{n\to+\infty}{u_{n}}=\ell$$

Théorème : Équivalents usuels

Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite de limite nulle. Alors :
$$\forall\alpha\in\R^{*},\;(1+u_{n})^{\alpha}-1\underset{n\to+\infty}{\sim}\alpha u_{n}$$ $$\ln(1+u_{n})\underset{n\to+\infty}{\sim}u_{n}$$ $$\exp({u_{n}})-1\underset{n\to+\infty}{\sim}u_{n}$$ $$\sin(u_{n})\underset{n\to+\infty}{\sim}u_{n}$$ $$\cos(u_{n})-1\underset{n\to+\infty}{\sim}-\dfrac{1}{2}u_{n}^{2}$$ $$\tan(u_{n})\underset{n\to+\infty}{\sim}u_{n}$$

Théorème : Lien entre équivalence et négligeabilité

Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ et $(v_{n})_{n\geqslant p}$ deux suites réelles.
  • Si $u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}$ alors $u_{n}-v_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o(v_{n})$ ou encore $u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}v_{n}+o(v_{n})$.
  • Si $u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o(v_{n})$ alors $v_{n}+u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}$.

Théorème : Compatibilité avec les opérations sur les suites

Soit $(u_{n})_{n\geqslant p},\;(v_{n})_{n\geqslant p},\;(w_{n})_{n\geqslant p},\;(t_{n})_{n\geqslant p}$ quatre suites réelles.
  • Si $u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}$ et si $w_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}t_{n}$ alors $u_{n}w_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}t_{n}$.
  • On suppose que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ne s'annulent pas à partir d'un certain rang. Alors :
    $$u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}\qquad\implies\qquad\dfrac{1}{v_{n}}\underset{n\to+\infty}{\sim}\dfrac{1}{u_{n}}$$
  • Plus généralement, si $u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}$ et si $\alpha\in\R$ alors $u_{n}^{\alpha}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}^{\alpha}$ (avec $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ne s'annulant pas à partir d'un certain rang dans le cas où $\alpha\leqslant0)$.

Remarques

  • L'équivalence n'est pas compatible avec la somme.
    Exemple : $1+\dfrac{1}{n}\sim1$ et $-1+\dfrac{1}{n}\sim-1$ mais $\dfrac{2}{n}\not\sim0$.
  • L'équivalence n'est pas compatible avec la fonction ln.
    Exemple : $1+\dfrac{1}{n}\sim1+\dfrac{1}{n^{2}}$ mais $\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\not\sim\ln\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right)$.
  • L'équivalence n'est pas compatible avec la fonction exp.
    Exemple : $n+1\sim n$ mais $\mathrm{e}^{n+1}\not\sim \mathrm{e}^{n}$.

Développements limités

Définition : Développement limité

Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite réelle. Soit $k\in\N$. On dit que la suite $(u_{n})$ admet un développement limité à l'ordre $k$ (au voisinage de $+\infty$) si et seulement s'il existe un polynôme $P(X)$ de degré inférieur ou égal à $k$ de sorte que :
$$u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}P\left(\dfrac{1}{n}\right)+o\left(\dfrac{1}{n^{k}}\right)$$

Théorème : Opérations sur les développements limités

On peut:
  • ajouter deux développements limités en les ajoutant terme à terme,
  • multiplier un développement limité par un réel en multipliant chaque terme par ce réel,
  • multiplier deux développements limités en multipliant les polynômes et en tronquant les termes au plus petit des deux degrés,
  • composer deux développement limités.

Théorème : Développements limités usuels

Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite de limite nulle. On a les développements limités à l'ordre $p\in\N$ suivants :

$$\ds\ln(1+u_{n})\underset{n\to+\infty}{=}\sum_{k=1}^{p}{\frac{(-1)^{k-1}u_{n}^{k}}{k}}+o\left(u_{n}^{p}\right)$$ $$\ds \mathrm{e}^{u_{n}}\underset{n\to+\infty}{=}\sum_{k=0}^{p}{\frac{u_{n}^{k}}{k!}}+o\left(u_{n}^{p}\right)$$ $$\ds\forall\alpha\in\R^{*},\;(1+u_{n})^{\alpha}\underset{n\to+\infty}{=}1+\sum_{k=1}^{p}{\frac{\alpha\times(\alpha-1)\times\dots\times(\alpha-k+1)}{k!}u_{n}^{k}}+o\left(u_{n}^{p}\right)$$ $$\ds\sin(u_{n})\underset{n\to+\infty}{=}\sum_{0\leqslant 2k\leqslant p-1}{\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}u_{n}^{2k+1}}+o\left(u_{n}^{p}\right)$$ $$\ds\qquad\cos(u_{n})\underset{n\to+\infty}{=}\sum_{0\leqslant2k\leqslant p}{\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}u_{n}^{2k}}+o\left(u_{n}^{p}\right)$$

Exemples

  1. Déterminer un développement limité à l'ordre 3 de :
    $$\ds\frac{1}{1+n}-\frac{1}{1-n^{2}}+\frac{1}{(1-n)^{2}}\qquad\tan\left(\frac{1}{n}\right)\qquad\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$
  2. Déterminer un couple $(a,b)$ de réels tel que :
    $$\ds\lim_{n\to+\infty}{\left[\sqrt{4n^{2}+n+1}-(an+b)\right]}=0$$Préciser alors un équivalent de cette suite.
math/2/comp_asymp_suite.txt · Dernière modification: 2020/05/12 15:49 par Alain Guichet