Uniquement dans le cas où la suite est croissante

• Si $(u_{n})$ est convergente alors $(u_{n})$ est bornée donc majorée.
• Supposons maintenant que $(u_{n})$ est majorée et posons $A=\{u_{n}\,|\, n\in\N\}$. Cet ensemble est non vide et majoré donc admet une borne supérieure $\ell$. Soit $\varepsilon>0$. D'après la propriété de la borne supérieure, il existe $n_{0}\in\N$ tel que $|u_{n_{0}}-\ell|\leqslant\varepsilon$. Par croissance de la suite $(u_{n})$, on en déduit que :
  $$\forall n\geqslant n_{0},\;|u_{n}-\ell|=\ell-u_{n}\leqslant\ell-u_{n_{0}}=|u_{n_0}-\ell|\leqslant\varepsilon$$ce qui assure la convergence de la suite vers $\ell$.

• Si $(u_{n})$ diverge vers $+\infty$ alors elle n'est pas majorée.
• Supposons maintenant que $(u_{n})$ n'est pas majorée. Soit $M\in\R$. Alors :
  $$\exists n_{0}\in\N\;/\; u_{n_{0}}\geqslant M$$Par croissance de la suite, on en déduit que :$$\forall n\geqslant n_{0},\; u_{n}\geqslant u_{n_{0}}\geqslant M$$ce qui prouve que la suite diverge vers $+\infty$.