Uniquement en cas de convergence

Notons $\ell$ la limite commune aux deux suites extraites des rangs pairs et impairs. Soit $\varepsilon>0$. On écrit la définition de la limite dans les deux cas avec le même réel $\varepsilon$ : $$\exists n_1\in\N\;/\;\forall n\geqslant n_1,\;|u_{2n}-\ell|\leqslant\varepsilon$$ $$\exists n_2\geqslant n_1\;/\;\forall n\geqslant n_2,\;|u_{2n+1}-\ell|\leqslant\varepsilon$$ Ainsi, on obtient : $$\forall n\geqslant 2n_2,\;|u_n-\ell|\leqslant\varepsilon$$ d'où la convergence.