Soit $x\in\R$. La fonction exponentielle est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\R$ donc l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $n$ en 0 donne :
$$\ds\left|\mathrm{e}^{x}-\sum_{k=0}^{n}{\frac{x^{k}}{k!}}\right|=\left|\mathrm{e}^{x}-\sum_{k=0}^{n}{\frac{\mathrm{e}^{0}}{k!}(x-0)^{k}}\right|\leqslant\frac{|x-0|^{n+1}}{(n+1)!}\max_{t\in[0,x]}\mathrm{e}^{t}\leqslant\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{e}^{|x|}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$$puisque $|x|^{n}=o(n!)$ pour tout réel $x$.