Soit $x\in\R$. Si $|x|\geqslant1$ alors la suite $(x^n)$ ne converge pas vers 0 donc la série diverge. Supposons donc que $|x|<1$. La suite $(x^n)$ converge bien vers 0 et on a :
$$\ds\sum_{k=0}^{n}{x^k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\frac{1}{1-x}$$

Soit $x\in\R$. Si $|x|\geqslant1$ alors la suite $(nx^n)$ ne converge pas vers 0 donc la série diverge. Supposons donc que $|x|<1$. La suite $(nx^n)$ converge bien vers 0 et, par dérivation (sur la variable $x$) de la somme partielle qui précède, on a :
$$\ds\sum_{k=1}^{n}{kx^{k-1}}=\frac{-(n+1)x^n(1-x)-(1-x^{n+1})(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\frac{1}{(1-x)^2}$$