Supposons que la série $\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{n}}$ converge absolument. Posons: $$\ds\forall n\geqslant0,\quad v_{n}=\left|u_{n}\right|+u_{n}\quad\text{et}\quad\;w_{n}=\left|u_{n}\right|$$ Alors, pour tout entier $n\geqslant0$ : $$\ds u_{n}=v_{n}-w_{n} \qquad\text{et}\qquad 0\leqslant v_{n}\leqslant2\left|u_{n}\right| \qquad\text{et}\qquad 0\leqslant w_{n}$$ De plus, la série $\ds\sum_{n\geqslant0}{w_{n}}$ converge (convergence absolue de $\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{n}})$ et, par théorème de convergence par comparaison (positivité des termes généraux), comme la série $\ds\sum_{n\geqslant0}{2\left|u_{n}\right|}$ converge alors la série $\ds\sum_{n\geqslant0}{v_{n}}$ converge. Ainsi : $$\ds\forall N\geqslant0,\;\sum_{n=0}^{N}{u_{n}}=\sum_{n=0}^{N}{\left(v_{n}-w_{n}\right)}=\sum_{n=0}^{N}{v_{n}}-\sum_{n=0}^{N}{w_{n}}\xrightarrow[N\to+\infty]{}\sum_{n=0}^{+\infty}{v_{n}}-\sum_{n=0}^{+\infty}{w_{n}}$$ donc la série $\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{n}}$ converge.

Supposons que la série $\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{n}}$ converge absolument. Soit $\varphi\colon\N\to\N$ une bijection. Pour tout $m\in\N$, on pose : $$\ds N(m)=\max\left\{ \varphi(n)\mid n\in\llbracket0,m\rrbracket\right\}$$ Alors, pour tout $m\in\N$, on a : $$N(m+1)=\max\left\{ N(m),\varphi(m+1)\right\} \geqslant N(m)$$ donc la suite $(N(m))_{m\in\N}$ est croissante. Si cette suite était bornée alors elle serait constante à partir d'un certain rang donc l'ensemble des $\varphi(m)$ serait fini ce qui contredirait le fait que $\varphi$ est une bijection de $\N$ dans $\N$. Ainsi : $$\ds \lim_{m\to+\infty}{N(m)}=+\infty$$ On en déduit que : $$\ds\sum_{n=0}^{m}{\left|u_{\varphi(n)}\right|}\leqslant\sum_{n=0}^{N(m)}{\left|u_{n}\right|}\xrightarrow[m\to+\infty]{}\sum_{n=0}^{+\infty}{\left|u_{n}\right|}$$ donc $\ds\sum_{n\geqslant0}{u_{\varphi(n)}}$ converge absolument et : $$\ds\sum_{n=0}^{+\infty}{\left|u_{\varphi(n)}\right|}\leqslant\sum_{n=0}^{+\infty}{\left|u_{n}\right|}$$ En appliquant ce résultat avec la bijection réciproque $\varphi^{-1}$, on obtient : $$\ds\sum_{n=0}^{+\infty}{\left|u_{n}\right|}=\sum_{n=0}^{+\infty}{\left|u_{\varphi^{-1}(\varphi(n))}\right|}\leqslant\sum_{n=0}^{+\infty}{\left|u_{\varphi(n)}\right|}$$ d'où l'on tire que : $$\ds\sum_{n=0}^{+\infty}{\left|u_{\varphi(n)}\right|}=\sum_{n=0}^{+\infty}{\left|u_{n}\right|}$$ Enfin, comme $\ds\left\{ \varphi(0),\varphi(1),\dots,\varphi(m)\right\} \subset\llbracket0,N(m)\rrbracket$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\left|\sum_{n=0}^{N(m)}{u_{\varphi(n)}}-\sum_{n=0}^{N(m)}{u_{n}}\right| & = & \ds\left|\sum_{n=0}^{N(m)}{\left[u_{\varphi(n)}-u_{n}\right]}\right|=\left|\sum_{n=m+1}^{N(m)}{\left[u_{\varphi(n)}-u_{n}\right]}\right| \\ & \leqslant & \ds\sum_{n=m+1}^{N(m)}{\left|u_{\varphi(n)}-u_{n}\right|}\leqslant\sum_{n=m+1}^{+\infty}{\left|u_{\varphi(n)}-u_{n}\right|}\xrightarrow[m\to+\infty]{}0 \end{array}$$ puisque les séries convergent absolument. Ainsi $\ds\left|\sum_{n=0}^{+\infty}{u_{\varphi(n)}}-\sum_{n=0}^{+\infty}{u_{n}}\right|=0$ donc : $$\ds\sum_{n=0}^{+\infty}{u_{\varphi(n)}}=\sum_{n=0}^{+\infty}{u_{n}}$$