Définition
Définition : Opérations dans $\C$
Théorème : Propriétés des opérations dans $\C$
Théorème : Trigonométrie et nombres complexes
Définition
On a ainsi une nouvelle écriture d'un nombre complexe non nul, dite forme trigonométrique :
$$z=|z|[\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)]$$
Théorème : Opérations et arguments
<html><a name=“formule_d_euler”></a></html>
Théorème : Formules d'Euler
Pour tout réel $\theta$, on a :
$$\ds\cos(\theta)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2}$$
$$\ds\sin(\theta)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}$$
Remarque
Les formules d'Euler s'utilisent essentiellement pour « linéariser » les produits trigonométriques afin de déterminer ensuite des primitives de fonctions.
<html><a name=“relations_trigonometriques”></a></html>
Théorème : Relations trigonométriques
Remarque
La relation de duplication $\cos(2a)=2\cos^{2}(a)-1$ s'utilise souvent sous la forme :
$$\ds\cos^{2}(a)=\frac{1}{2}\left(1+\cos(2a)\right)$$pour déterminer une primitive sur un intervalle de la fonction $x\mapsto\cos^{2}(x)$.
<html><a name=“racine_de_l_unite”></a></html>
Théorème : Racines de l'unité