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Nombres réels

Remarques

Définition

La valeur absolue d'un réel $x$ est le réel $\left|x\right|=\sqrt{x^{2}}$.

<html><a name=“proprietes_valeur_absolue”></a></html>

Théorème : Propriétés de la valeur absolue

  • $\forall x\in\R,\;\left|x\right|=0\iff x=0$
  • $\forall(x,y)\in\R^{2},\;\left|xy\right|=\left|x\right|\times\left|y\right|$
  • Inégalité triangulaire : $\forall(x,y)\in\R^{2},\;\left|x+y\right|\leqslant\left|x\right|+\left|y\right|$ (et $\left|x-y\right|\leqslant\left|x\right|+\left|y\right|$)
  • Soit $a\in\R$ et $\varepsilon>0$. On a :
    $$\ds x\in\left[a-\varepsilon,a+\varepsilon\right]\iff\left|x-a\right|\leqslant\varepsilon$$ $$\ds x\in\left]a-\varepsilon,a+\varepsilon\right[\iff\left|x-a\right|<\varepsilon$$

<html><a name=“existence_borne_superieure”></a></html>

Théorème : Existence de la borne supérieure, équivalent à la convergence des suites adjacentes

Soit $A$ une partie de non vide et majorée (resp. minorée) de $\R$. Alors $A$ admet un plus petit majorant (resp. plus grand minorant).

Définition

Soit $A$ une partie non vide de $\R$.

  • Le plus petit majorant, s'il existe, de $A$ est appelé borne supérieure de $\boldsymbol{A}$ et se note $\sup(A)$.
    Dans le cas où cette borne supérieure est un élément de $A$, on l'appelle maximum de $\boldsymbol{A}$ et on le note $\max(A)$.
  • Le plus grand minorant, s'il existe, de $A$ est appelé borne inférieure de $\boldsymbol{A}$ et se note $\inf(A)$.
    Dans le cas où cette borne inférieure est un élément de $A$, on l'appelle minimum de $\boldsymbol{A}$ et on le note $\min(A)$.

<html><a name=“propriete_borne_superieure”></a></html>

Théorème : Propriété de la borne supérieure/inférieure

Soit $A$ une partie non vide et majorée (resp. minorée) de $\R$. Alors, pour tout réel $\varepsilon>0$, il existe un élément $x$ de $A$ tel que :
$$0\leqslant\sup(A)-x\leqslant\varepsilon\qquad(\text{resp}\quad0\leqslant x-\inf(A)\leqslant\varepsilon)$$

Définition

La partie entière $\lfloor x\rfloor$ d'un réel $x$ est le plus grand entier qui lui est inférieur ou égal :
$$\lfloor x\rfloor\leqslant x<\lfloor x\rfloor+1$$ou encore :
$$x-1<\lfloor x\rfloor\leqslant x$$

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