Soit $x\in\R$. On a :
$$\ds\left|x\right|=0\iff\sqrt{x^{2}}=0\iff x^{2}=0\iff x=0$$

Soit $(x,y)\in\R^{2}$. On a :
$$\ds\left|xy\right|=\sqrt{\left(xy\right)^{2}}=\sqrt{x^{2}y^{2}}=\sqrt{x^{2}}\sqrt{y^{2}}=\left|x\right|\times\left|y\right|$$

Soit $(x,y)\in\R^{2}$. On a :
$$\ds\left|x+y\right|^{2}=(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy\leqslant\left|x\right|^{2}+\left|y\right|^{2}+2\left|x\right|\cdot\left|y\right|=\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^{2}$$Par croissance de la fonction carrée sur $\R^{+}$, on en déduit que :
$$\ds\left|x+y\right|\leqslant\left|x\right|+\left|y\right|$$

Soit $x\in\R$. On a :
$$\ds\begin{array}{rcl}\left|x-a\right|\leqslant\varepsilon & \iff & \sqrt{\left(x-a\right)^{2}}\leqslant\varepsilon\iff(x-a)^{2}\leqslant\varepsilon^{2} \\ & \iff & (x-a)^{2}-\varepsilon^{2}\leqslant0 \\ & \iff & \left(x-a-\varepsilon\right)\left(x-a+\varepsilon\right)\leqslant0 \\ & \iff & \left[x-\left(a+\varepsilon\right)\right]\left[x-\left(a-\varepsilon\right)\right]\leqslant0 \\ & \iff & x\in\left[a-\varepsilon,a+\varepsilon\right] \end{array}$$Il en va de même avec l'inégalité stricte et l'intervalle ouvert.