Définition
Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont $f$ est l'une de ses densités.
Exemples
Préciser l'existence et la valeur éventuelle de l'espérance dans les cas :
<html><a name=“positivite_esperance_densite”></a></html>
Théorème : Positivité de l'espérance
Soit $X$ une variable aléatoire à densité à valeurs positives. Si $X$ admet une espérance alors $\mathbb{E}(X)\geqslant0$
<html><a name=“esperance_variance_loi_usuelle_densite”></a></html>
Théorème : Espérance des lois usuelles
<html><a name=“theoreme_transfert_esperance_densite”></a></html>
Théorème : Théorème de transfert, seconde partie
Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont une densité $f_{X}$ est nulle en dehors de l'intervalle $]a,b[$ de $\R$ (avec $-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty$). Soit $g\colon\R\to\R$ une fonction continue sur $]a,b[$ (au moins) sauf éventuellement en un nombre fini de points. Alors la variable aléatoire $g(X)$ admet une espérance si et seulement si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{g(t)f_{X}(t)\mathrm{d} t}$ converge absolument. De plus, en cas de convergence absolue, on a :
$$\ds\mathbb{E}(g(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}{g(t)f_{X}(t)\mathrm{d} t}=\int_{a}^{b}{g(t)f_{X}(t)\mathrm{d} t}$$
Exemples
<html><a name=“linearite_esperance_densite”></a></html>
Théorème : Linéarité de l'espérance
Soit $X$ une variable aléatoire à densité et $Y=aX+b$ avec $a\ne0$. Si $X$ admet une espérance alors $Y$ en admet une aussi et on a :
$$\ds\mathbb{E}(Y)=a\mathbb{E}(X)+b$$
Remarque
Si $X$ admet une espérance alors $X-\mathbb{E}(X)$ est centrée.
Définition
Soit $X$ une variable aléatoire à densité et $f$ l'une de ses densités. Soit $k\in\N^{*}$.
<html><a name=“existence_moments_densite”></a></html>
Théorème : Condition suffisante d'existence de moments
Si une variable aléatoire $X$ à densité admet un moment d'ordre $k\in\N^{*}$ alors elle admet un moment d'ordre $i$ pour tout $i\in\llbracket1,k\rrbracket$.