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Variance

Définition

Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont $f$ est l'une de ses densités.

On dit que $X$ admet une variance si et seulement si $X$ admet une espérance et $(X-\mathbb{E}(X))^{2}$ admet une espérance, autrement dit, l'intégrale $\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{\left(t-\mathbb{E}(X)\right)^{2}f(t)\mathrm{d} t}$ converge (absolument).
Si $X$ admet une variance alors on appelle variance de $X$ le réel :
$$\ds\mathbb{V}(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}{\left(t-\mathbb{E}(X)\right)^{2}f(t)\mathrm{d} t}$$et écart type de $X$ le réel $\sigma(X)=\sqrt{\mathbb{V}(X)}$.
On dit que $X$ est centrée-réduite si et seulement si elle admet une variance et :
$$\ds\mathbb{E}(X)=0\qquad\text{et}\qquad\mathbb{V}(X)=1$$

Exemples

Reprendre les exemples de calculs d'espérance et déterminer les variances éventuelles.

Théorème : Formule de Koenig-Huygens

Une variable aléatoire $X$ admet une variance si et seulement si elle admet un moment d'ordre 2. De plus, en cas d'existence de l'un de ces deux réels, on a :
$$\ds\mathbb{V}(X)=\mathbb{E}(X^{2})-\mathbb{E}(X)^{2}$$

Théorème : Variance des lois usuelles

Si $X\hookrightarrow\mathcal{U}([a,b])$ alors $X$ admet une variance et on a :
$$\ds\mathbb{V}(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12}$$En particulier si $X\hookrightarrow\mathcal{U}([0,1])$ alors $$\ds\mathbb{V}(X)=\frac{1}{12}$$.
Si $X\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)$ alors $X$ admet une variance et on a :
$$\ds\mathbb{V}(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}$$En particulier si $X\hookrightarrow\mathcal{E}(1)$ alors $\mathbb{V}(X)=1$.
Si $X\hookrightarrow\gamma(\nu)$ alors $X$ admet une variance et on a :
$$\ds\mathbb{V}(X)=\nu$$
Si $X\hookrightarrow\mathcal{N}(m,\sigma^{2})$ alors $X$ admet une variance et on a :
$$\ds\mathbb{V}(X)=\sigma^{2}$$En particulier si $X\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$ alors $\mathbb{V}(X)=1$.
De plus, si $X\hookrightarrow\mathcal{N}(m,\sigma^{2})$ alors $\ds X^{*}=\frac{X-\mathbb{E}(X)}{\sigma(X)}\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$.

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