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math:2:densite_transfert

Densité par transfert

Théorème : Théorème de transfert, première partie

Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont une densité $f_{X}$ est nulle en dehors de l'intervalle $]a,b[$ de $\R$ (avec $-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty$). Soit $g$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$, strictement monotone et de fonction dérivée $g'$ ne s'annulant pas sur l'intervalle $]a,b[$. Alors, $Y=g(X)$ est une variable aléatoire à densité dont une densité est la fonction $f_{Y}$ définie par :
$$\ds\forall t\in\R,\; f_{Y}(t)=\begin{cases} 0 & \ds\text{si}\; t\notin\left]\lim_{x\to a}{g(x)},\lim_{x\to b}{g(x)}\right[\\ \ds\frac{f_{X}(g^{-1}(t))}{\left|g'(g^{-1}(t))\right|} & \ds\text{si}\; t\in\left]\lim_{x\to a}{g(x)},\lim_{x\to b}{g(x)}\right[ \end{cases}$$

Exemples : Cas très usuels

  1. Soit $X$ une variable aléatoire dont $f$ est une densité.
    1. Déterminer une densité de $Y=aX+b$ avec $a\in\R^{*}$ et $b\in\R$ (distinguer les cas $a>0$ et $a<0$).
      Dans le cas où $a=0$, que peut-on dire de la variable aléatoire $Y$ ?
    2. Préciser le résultat dans le cas où $Y=-X$.
  2. Soit $X$ une variable aléatoire dont $f$ est une densité. On suppose que $X(\Omega)\subset\left]0,+\infty\right[$.
    1. Déterminer une densité de $Y=\ln(X)$.
    2. Déterminer une densité de $Z=\frac{1}{X}$.
    3. Préciser les lois de $Y$ et de $Z$ lorsque $X\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)$.
  3. Soit $X$ une variable aléatoire dont $f$ est une densité.
    1. Déterminer une densité de $Y=\mathrm{e}^{\alpha X}$ où $\alpha\in\R^{*}$.
    2. Préciser la loi de $Y$ lorsque $X\hookrightarrow\mathcal{U}([0,1])$.
  4. Cas de fonctions de transferts non bijectives.
    Soit $X$ une variable aléatoire dont $f$ est une densité.
      1. Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
        $$\ds g(t)=\begin{cases} 0 & \text{si}\; t\leqslant0\\ \ds\frac{1}{2\sqrt{t}}\left[f\left(\sqrt{t}\right)+f\left(-\sqrt{t}\right)\right] & \text{si}\; t>0 \end{cases}$$est une densité de la variable aléatoire $Y=X^{2}$.
        Le résultat peut être retenu mais il vaut mieux savoir le retrouver.
      2. Dans cette question, on suppose que $\ds f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^{2})}$. Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité d'une variable $X$, préciser $F_{X}$, en déduire la fonction de répartition $F_{Y}$ de $Y=X^{2}$ puis une densité $g$ de $Y$.
      1. Déterminer une densité $h$ de la variable aléatoire $Z=|X|$.
      2. Appliquer au cas où $X\hookrightarrow\mathcal{U}([-1,1])$.
  5. Méthode d'inversion.
    Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont la fonction de répartition $F_X$ est strictement croissante sur $]a,b[$ (avec $-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty$) et constante en dehors de $]a,b[$.
    1. Justifier que $F_X$ est une bijection de $]a,b[$ dans $]0,1[$. Préciser $F_X$ lorsque $a\ne-\infty$ et/ou $b\ne+\infty$.
    2. Soit $U$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi $\mathcal{U}(]0,1[)$. Montrer que $Y=F_X^{-1}(U)$ a même loi que $X$.
    3. Comment simuler numériquement la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ?
      // Comparaison des résultats pour la loi exponentielle
      // avec la méthode d'inversion et la méthode directe avec 'grand'
      lambda=input("Donner le paramètre lambda : ")
      n=input("Donner le nombre de tirages au sort : ")
      x=[0:0.1:lambda]
      y=-log(1-rand(1,n))/lambda
      z=grand(1,n,"exp",1/lambda)
      t=lambda*exp(-lambda*x)
      histplot(x,y,1)
      histplot(x,z,5)
      plot2d(x,t,6)
      legend(["par inversion" "avec grand" "densité"])
      

      simulations_loi_exponentielle.pdf

Théorème : Transfert sur les lois usuelles

  • Soit $(a,b)\in\R^{2}$ tel que $a<b$. Alors :
    $$\ds X\hookrightarrow\mathcal{U}([0,1])\quad\iff\quad(b-a)X+a\hookrightarrow\mathcal{U}([a,b])$$ou encore :
    $$\ds X\hookrightarrow\mathcal{U}([a,b])\quad\iff\quad\frac{1}{b-a}(X-a)\hookrightarrow\mathcal{U}([0,1])$$
  • Soit $\lambda$ un réel strictement positif. Alors :
    $$\ds X\hookrightarrow\mathcal{E}(1)\quad\iff\quad\frac{1}{\lambda}X\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)$$ou encore :
    $$\ds X\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)\quad\iff\quad\lambda X\hookrightarrow\mathcal{E}(1)$$
  • Soit $m$ un réel et $\sigma$ un réel strictement positif. Alors :
    $$\ds X\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)\quad\iff\quad\sigma X+m\hookrightarrow\mathcal{N}(m,\sigma^{2})$$ou encore :
    $$\ds X\hookrightarrow\mathcal{N}(m,\sigma^{2})\quad\iff\quad\frac{X-m}{\sigma}\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$$On a aussi :
    $$\ds\forall(a,b)\in\R^{*}\times\R,\quad X\hookrightarrow\mathcal{N}(m,\sigma^{2})\quad\implies\quad aX+b\hookrightarrow\mathcal{N}(am+b,a^{2}\sigma^{2})$$

Remarques

  • Le premier résultat est à la base de la simulation informatique de $X\hookrightarrow\mathcal{U}([a,b])$ : (b-a)*rand()+a en est une bonne approximation.
  • Dans le cas où $b<a$, on a :
    $$\ds X\hookrightarrow\mathcal{U}([0,1])\;\iff\;(b-a)X+a\hookrightarrow\mathcal{U}([b,a])$$Il est toutefois préférable de redémontrer ce résultat.

Exemples

  1. Soit $X\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)$ où $\lambda>0$. On pose $p=1-\mathrm{e}^{-\lambda}\in\left]0,1\right[$ et $Y=\left\lfloor X\right\rfloor +1$. Montrer que $Y\hookrightarrow\mathcal{G}(p)$.
  2. Soit $X\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$. Déterminer la loi de $-X$.
    Soit $Y\hookrightarrow\mathcal{N}(2,1)$. Déterminer la loi de $-Y$.
  3. Lectures de la table de valeurs.
    Soit $\ds X\hookrightarrow\mathcal{N}\left(3,\frac{1}{2}\right)$. Donner des valeurs approchées de $\mathbb{P}(2\leqslant X\leqslant4)$ et de $\mathbb{P}(X\geqslant0)$.
math/2/densite_transfert.txt · Dernière modification: 2020/05/10 21:19 (modification externe)