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math:2:demo:theoreme_transfert_densite_1

Preuve : théorème de transfert de densité

On suppose que $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $]a,b[$ et que $g'$ est strictement positive sur $]a,b[$. On note $\ds\alpha=\lim_{x\to a}{g(x)}$ et $\ds\beta=\lim_{x\to b}{g(x)}$. Alors, la répartition de $Y=g(X)$ est donnée par :
$$\ds F_{Y}(t)=\mathbb{P}(Y\leqslant t)=\begin{cases} 0 & \text{si}\;g^{-1}(t)\leqslant a \\ \mathbb{P}(X\leqslant g^{-1}(t)) & \text{si}\;a<g^{-1}(t)<b \\ 1 & \text{si}\;g^{-1}(t)\geqslant b \end{cases}=\begin{cases} 0 & \text{si}\;t\leqslant\alpha \\ F_{X}(g^{-1}(t)) & \text{si}\;\alpha<t<\beta \\ 1 & \text{si}\;t\geqslant\beta \end{cases}$$

La fonction $F_{Y}$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R$ (par composition et théorème de dérivation des fonctions réciproques) sauf peut-être en $g(a)$ et $g(b)$ (si ce sont des réels et non des infinis). De plus :
$$\ds g^{-1}(t)\xrightarrow[t\to\alpha]{}a\quad\text{et}\quad F_{X}(x)\xrightarrow[x\to a]{}0\qquad\text{donc}\qquad F_{X}(g^{-1}(t))\xrightarrow[t\to\alpha]{}0$$$$\ds g^{-1}(t)\xrightarrow[t\to\beta]{}b\quad\text{et}\quad F_{X}(x)\xrightarrow[x\to b]{}1\qquad\text{donc}\qquad F_{X}(g^{-1}(t))\xrightarrow[t\to\beta]{}1$$donc $F_{Y}$ est continue sur $\R$. Ainsi, $Y$ est une variable à densité et, par dérivation lorsque cela est possible, on a :\\ $$\ds f_{Y}(t)=\begin{cases} 0 & \text{si}\;t\notin\left]\alpha,\beta\right[
(g^{-1})'(t)f_{X}(g^{-1}(t)) & \text{si}\;t\in\left]\alpha,\beta\right[ \end{cases}=\begin{cases} 0 & \text{si}\;t\notin\left]\alpha,\beta\right[
\ds\frac{f_{X}(g^{-1}(t))}{g'(g^{-1}(t))} & \text{si}\;t\in\left]\alpha,\beta\right[ \end{cases}$$d'après le théorème de dérivation des fonctions réciproques.

On adapte lorsque $g$ est strictement décroissante (donc $g'$ est strictement négative) sur $]a,b[$.

math/2/demo/theoreme_transfert_densite_1.txt · Dernière modification : 2020/05/10 21:31 de 127.0.0.1