Toutes les intégrales qui suivent sont absolument convergentes (intégrales sur un segment ou bien se ramenant à la fonction $\Gamma$ via un changement de variable).

Pour tout entier naturel $k\geqslant1$, on a : $$\begin{array}{rcl} \mathbb{E}(X^k) & = & \ds\int_{-\infty}^{+\infty}{t^{k}\frac{1}{b-a}1\!\!1_{[a,b]}(t)\mathrm{d}t}\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{t^{k}\mathrm{d}t} \\ & = & \ds\frac{1}{b-a}\left[\frac{t^{k+1}}{k+1}\right]_{a}^{b}=\frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{(k+1)(b-a)}=\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^{k}{a^{i}b^{k-i}} \end{array}$$

En particulier : $$\ds\mathbb{E}(X)=\frac{a+b}{2}\qquad\text{et}\qquad\mathbb{E}(X^{2})=\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$$donc : $$\ds\mathbb{V}(X)=\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}=\frac{(a-b)^{2}}{12}$$

Pour tout entier naturel $k\geqslant1$, on a : $$\begin{array}{rcl} \mathbb{E}(X^k) & = & \ds\int_{-\infty}^{+\infty}{t^{k}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda t}1\!\!1_{[0,+\infty[}(t)\mathrm{d}t}=\int_{0}^{+\infty}{t^{k}\mathrm{e}^{-\lambda t}\lambda\mathrm{d}t} \\ & = & \ds\int_{0}^{+\infty}{\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x}=\frac{\Gamma(k+1)}{\lambda^{k}}=\frac{k!}{\lambda^{k}} \end{array}$$

En particulier : $$\ds\mathbb{E}(X)=\frac{1}{\lambda}\qquad\text{et}\qquad\mathbb{E}(X^{2})=\frac{2}{\lambda^{2}}$$donc : $$\ds\mathbb{V}(X)=\frac{2}{\lambda^{2}}-\left(\frac{1}{\lambda}\right)^{2}=\frac{1}{\lambda^{2}}$$

Pour tout entier naturel $k\geqslant1$, on a : $$\begin{array}{rcl} \mathbb{E}(X^k) & = & \ds\int_{-\infty}^{+\infty}{t^{k}\frac{1}{\Gamma(\nu)}t^{\nu-1}\mathrm{e}^{-t}1\!\!1_{]0,+\infty[}\mathrm{d}t}=\frac{1}{\Gamma(\nu)}\int_{0}^{+\infty}{t^{k+\nu-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t} \\ & = & \ds\frac{\Gamma(k+\nu)}{\Gamma(\nu)}=\prod_{i=0}^{k-1}{\frac{\Gamma(i+\nu+1)}{\Gamma(i+\nu)}}=\prod_{i=0}^{k-1}(i+\nu) \end{array}$$

En particulier : $$\ds\mathbb{E}(X)=\nu\qquad\text{et}\qquad\mathbb{E}(X^{2})=(\nu+1)\nu$$donc : $$\ds\mathbb{V}(X)=(\nu+1)\nu-\nu^{2}=\nu$$

Pour tout entier naturel $k\geqslant1$, on a : $$\begin{array}{rcl} \mathbb{E}(X^k) & = & \ds\int_{-\infty}^{+\infty}{t^{k}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}}\mathrm{d}t} \\ & = & \begin{cases} 0 & \text{si }k\text{ est impair} \\ \ds\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{+\infty}{\sqrt{2x}^{k-1}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x} & \text{si }k\text{ est pair} \end{cases} \\ & = & \begin{cases} 0 & \text{si }k\text{ est impair} \\ \ds\frac{\sqrt{2}^{k}}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\int_{0}^{+\infty}{x^{\frac{k+1}{2}-1}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d} x} & \text{si }k\text{ est pair} \end{cases} \\ & = & \begin{cases} 0 & \text{si }k\text{ est impair} \\ \ds\sqrt{2}^{k}\frac{\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)} & \text{si }k\text{ est pair} \end{cases} \\ & = & \begin{cases} 0 & \text{si }k\text{ est impair} \\ \ds2^{\frac{k}{2}}\prod_{i=0}^{\frac{k}{2}-1}{\left(\frac{2i+1}{2}\right)} & \text{si }k\text{ est pair} \end{cases} \\ & = & \begin{cases} 0 & \text{si }k\text{ est impair} \\ \ds\frac{k!}{2^{\frac{k}{2}}\left(\frac{k}{2}\right)!} & \text{si }k\text{ est pair} \end{cases} \end{array}$$

En particulier, si $X\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$ alors : $$\ds\mathbb{E}(X)=0\qquad\text{et}\qquad\mathbb{E}(X^{2})=1$$donc : $$\ds\mathbb{V}(X)=1-0^{2}=1$$

Par transfert, si $X\hookrightarrow\mathcal{N}(m,\sigma^{2})$ alors $\ds\frac{X-m}{\sigma}\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$ donc : $$\ds\mathbb{E}\left(\frac{X-m}{\sigma}\right)=0\iff\mathbb{E}(X)=m$$$$\ds\mathbb{V}\left(\frac{X-m}{\sigma}\right)=1\iff\mathbb{V}(X)=\sigma^{2}$$