On suppose que $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $]a,b[$ et que $g'$ est strictement positive sur $]a,b[$. On note $\ds\alpha=\lim_{x\to a}{g(x)}$ et $\ds\beta=\lim_{x\to b}{g(x)}$.

Alors, une densité de $Y=g(X)$ est donnée par : $$f_{Y}(t)=\begin{cases} 0 & \text{si}\;t\notin\left]\alpha,\beta\right[ \\ \ds\frac{f_{X}(g^{-1}(t))}{g'(g^{-1}(t))} & \text{si}\;t\in\left]\alpha,\beta\right[ \end{cases}$$

Sous réserve de convergence absolue : $$\ds\mathbb{E}(Y)=\int_{\alpha}^{\beta}{t\cdot\frac{f_{X}(g^{-1}(t))}{g'(g^{-1}(t))}\mathrm{d}t}$$

Par changement de variable $t=g(x)$ qui est bien de classe $\mathcal{C}^{1}$ et strictement croissant sur $]a,b[$, on a (toujours sous réserve de convergence absolue) et avec $\mathrm{d}t=g'(x)\mathrm{d}x$ : $$\ds\mathbb{E}(Y)=\int_{a}^{b}{g(x)\frac{f_{X}(g^{-1}(g(x)))}{g'(g^{-1}(g(x)))}g'(x)\mathrm{d}x}=\int_{a}^{b}{g(x)f_{X}(x)\mathrm{d}x}$$