Soit $i\in\llbracket1,k-1\rrbracket$. Soit $a_{1},\dots,a_{n}$ les points de discontinuité (éventuels) de $f$ sur $\R$. Soit $b>\max\left\{ \left|a_{1}\right|,\dots,\left|a_{n}\right|\right\}$.

• Au voisinage de $+\infty$, on a :
  $$\ds t^{i}f(t)=o(t^{k}f(t))$$donc la convergence absolue de $\ds\int_{b}^{+\infty}{t^{k}f(t)\mathrm{d}t}$ prouve la convergence absolue de $\ds\int_{b}^{+\infty}{t^{i}f(t)\mathrm{d}t}$.
• La convergence absolue en la borne $-\infty$ se justifie de la même façon.
• Au voisinage de $a_{j}$ ($j\in\llbracket1,n\rrbracket$), on a :
  $$\ds\left|t^{i}f(t)\right|\leqslant b^{i}f(t)$$et les intégrales $\ds\int_{\dots}^{a_{j}}{f(t)\mathrm{d}t}$ et $\ds\int_{a_{j}}^{\dots}{f(t)\mathrm{d}t}$ convergent donc il en est de même des intégrales $\ds\int_{\dots}^{a_{j}}{\left|t^{i}f(t)\right|\mathrm{d}t}$ et $\ds\int_{a_{j}}^{\dots}{\left|t^{i}f(t)\right|\mathrm{d}t}$.

On en conclut que l'intégrale $\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{t^{i}f(t)\mathrm{d}t}$ converge absolument.