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Notion de tribu de parties d'un ensemble

Définition

On appelle tribu de parties d'un ensemble $\Omega$ tout sous-ensemble $\mathcal{A}$ de $\mathcal{P}(\Omega)$ vérifiant les propriétés :
$$\Omega\in\mathcal{A}$$$$\forall A\in\mathcal{A},\;\bar{A}\in\mathcal{A}$$$$\ds\forall(A_{n})_{n\in\N}\in\mathcal{A}^{\N},\;\bigcup_{n=0}^{+\infty}{A_{n}}\in\mathcal{A}$$

La dernière propriété est appelée propriété de $\boldsymbol{\sigma}$-additivité (ou de somme infinie) des parties et on dit aussi que $\mathcal{A}$ est une $\boldsymbol{\sigma}$-algèbre.

Remarques

$\mathcal{A}=\{\varnothing,\Omega\}$ est la plus petite tribu de partie de $\Omega$.
Pour $A$ partie de $\Omega$ telle que $A\ne\varnothing$ et $A\ne\Omega$, l'ensemble $\mathcal{A}=\{\varnothing,A,\bar{A},\Omega\}$ est la plus petite (au sens de l'inclusion) tribu de parties de $\Omega$ comprenant $A$.
$\mathcal{P}(\Omega)$ est une tribu de parties de $\Omega$ (c'est la plus grande possible).

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<a name=“proprietes_des_tribus”></a></html>Théorème : Propriétés des tribus>

Soit $\mathcal{A}$ une tribu de parties de $\Omega$. Alors :

$\varnothing\in\mathcal{A}$,
pour tout couple $(A,B)\in\mathcal{A}^{2}$, on a : $A\cup B\in\mathcal{A}$, $A\cap B\in\mathcal{A}$ et $A\setminus B\in\mathcal{A}$,
pour toute suite $(A_{n})_{n\in\N}$ d'éléments de $\mathcal{A}$, $\ds\bigcap_{n=0}^{+\infty}{A_{n}}$ est un élément de $\mathcal{A}$.

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<a name=“intersection_de_tribus”></a></html>Théorème : Intersection de tribus>

L'intersection d'une famille finie ou infinie de tribus d'un ensemble $\Omega$ est une tribu de $\Omega$.
En particulier, l'intersection de toutes les tribus contenant une même famille (finie ou infinie) de parties de $\Omega$ est une tribu et c'est la plus petite tribu contenant cette famille.

Définition

Soit $(A_{n})_{n\in\N}$ une famille (éventuellement finie) de parties de $\Omega$. La plus petite tribu contenant cette famille est appelée tribu engendrée par la famille $\boldsymbol{(A_{n})_{n\in\N}}$.

Remarque
Soit $\Omega=\R$. On appelle tribu des boréliens la tribu $\mathcal{B}$ engendrée par tous les intervalles fermés et bornés de $\R$ (tous les éléments de $\mathcal{B}$ sont alors appelés boréliens). Alors :

les intervalles de $\R$ sont éléments de $\mathcal{B}$,
si $a\in\R$ alors $\mathcal{B}$ est aussi la tribu engendrée par les intervalles du type$\left]-\infty,a\right[$,
si $(a,b)\in\R^{2}$ alors $\mathcal{B}$ est aussi la tribu engendrée par les intervalles du type $\left]a,b\right[$.

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