Vocabulaire des ensembles
Définitions : Élément, ensemble, sous-ensemble
- Un ensemble $E$ est une collection (ou famille) d'objets appelés éléments. Si cet ensemble ne contient aucun élément, on l'appelle ensemble vide et on le note $\varnothing$.
- On dit qu'un objet $x$ appartient à un ensemble $E$ si et seulement si $x$ est un élément de $E$ (notation : $x\in E$). Dans le cas contraire, on dit que $x$ n'appartient pas à $E$ (notation : $x\notin E$).
- On dit qu'un ensemble $A$ est un sous-ensemble d'un ensemble $E$ (ou bien que $A$ est une partie de $E$ ou bien encore que $A$ est inclus dans $E$) si et seulement si :
$$\forall x\in A,\ x\in E$$(notation : $A\subset E$). On dit aussi que $E$ contient $A$ (notation : $E\supset A$). - L'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble $E$ se note $\mathcal{P}(E)$.
- Deux ensembles $A$ et $B$ sont dits égaux si et seulement s'ils sont inclus l'un dans l'autre : $A\subset B$ et $B\subset A$ (ou encore: $x\in A\iff x\in B$).
Définitions : Opérations sur les sous-ensembles
Soit $A$ et $B$ deux parties de $E$.
- Intersection : $A\cap B=\left\{ x\in E\mid x\in A\;\text{et}\; x\in B\right\}$.
Les deux parties $A$ et $B$ sont dites disjointes si et seulement si : $A\cap B=\varnothing$. - Réunion : $A\cup B=\left\{ x\in E\mid x\in A\;\text{ou}\; x\in B\right\}$.
- Complémentaire : $\bar{A}=\left\{ x\in E\mid x\not\notin A\right\}$.
- Différence : $A\setminus B=\left\{ x\in E\mid x\in A\;\text{et}\; x\notin B\right\}$.
- Produit cartésien : $A\times B$ est l'ensemble des couples d'éléments $(x,y)$ avec $x\in A$ et $y\in B$.
Théorèmes : Règles de calculs sur les opérateurs
Soit $A,B,C$ trois parties d'un ensemble $E$.
- Associativité : $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$ et $(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$ d'où la possibilité d'omettre les parenthèses.
- Commutativité : $A\cup B=B\cup A$ et $A\cap B=B\cap A$.
- Éléments neutres : $A\cup\varnothing=A$, $A\cap\varnothing=\varnothing$, $A\cup E=E$ et $A\cap E=A$.
- Distributivité : $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)$ et $(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C)$.
- Passages aux complémentaires : $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap\bar{B}$ et $\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup\bar{B}$.
Remarque
On pourrait aussi donner des règles de calculs entre l'opérateur de différence (ou de produit cartésien) et les trois autres opérateurs mais nous n'en aurons nul besoin dans ce cours.
Définitions : Extension des opérations sur les sous-ensembles
Soit $I$ un ensemble (souvent une partie de $\N$). Pour tout $i\in I$, on considère une partie $A_{i}$ de $E$. On note $(A_{i})_{i\in I}$ la famille de toutes ces parties.
- Intersection : $\ds\bigcap_{i\in I}{A_{i}}=\left\{ x\in E\mid\forall i\in I,\; x\in A_{i}\right\}$.
- Réunion : $\ds\bigcup_{i\in I}{A_{i}}=\left\{ x\in E\mid\exists i\in I,\; x\in A_{i}\right\}$.
- Produit cartésien : $\ds\prod_{i\in I}{A_{i}}$ est l'ensemble des « suites » $(x_{i})_{i\in I}$ d'éléments de $E$ tels que : $\forall i\in I,\; x_{i}\in A_{i}$.
Par extension : $E^{n}=E\times\dots\times E$ ($n$ facteurs) et $E^{I}=E\times E\times\dots$.
Remarque
La propriété de passage au complémentaire (ou loi de Morgan) s'étend à l'intersection et à la réunion d'une famille de parties.
Définitions : Partition
Des parties $A_{1},\dots,A_{n}$ de $E$ forment une partition d'un ensemble $E$ si et seulement si :
$$A_{1}\cup\dots\cup A_{n}=E\qquad\text{et}\qquad\forall i\ne j,\; A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$$Il est d'usage que ces parties soient toutes non vides.
Remarque
Si $A_{1},\dots,A_{n}$ est une partition de $E$ alors, pour tout numéro $i$, on a: $\overline{A_{i}}=A_{1}\cup\dots\cup A_{i-1}\cup A_{i+1}\cup\dots\cup A_{n}$.