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Matrices

Définitions

Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice (rectangulaire) à $n$ lignes et $p$ colonnes tout tableau de scalaires de la forme :
$$\ds\begin{pmatrix}a_{1,1} & \ldots & a_{1,p}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n,1} & \ldots & a_{n,p} \end{pmatrix}$$ où l'on a :
$$\ds\forall i\in[\![1,n]\!],\;\forall j\in[\![1,p]\!],\; a_{i,j}\in\K$$ ($i$ est le numéro de ligne et $j$ le numéro de colonne).
L'ensemble des telles matrices se note $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et un de ses éléments se note $A=(a_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant j\leqslant p}}$.
Dans le cas où $n=p$, on parle de matrice carrée, on note généralement $(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ et l'ensemble des telles matrices est noté $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
On notera, dans ce document, $\Theta$ la matrice nulle.
On parle de matrice ligne dans le cas où $n=1$, de matrice colonne (ou vecteur) lorsque $p=1$.
Pour tout $i\in[\![1,n]\!]$ et tout $j\in[\![1,p]\!]$, on appelle matrice élémentaire d'indice $(i,j)$ la matrice de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$, notée $E_{i,j}$, dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé en ligne $i$ et colonne $j$ qui vaut 1.
Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont le même nombre de lignes, le même nombre de colonnes et le même coefficient pour chaque couple $(i,j)$ d'indices.

Remarque
L'ensemble $\mathcal{M}_{1}(\K)$ est clairement en bijection avec l'ensemble $\K$. De plus, comme on va le voir dans ce qui suit, les opérations (addition et multiplication) sur ces matrices s'identifient aux opérations sur les scalaires. On considère alors qu'une matrice carrée d'ordre 1 est un réel et se note comme un scalaire (donc sans les parenthèses).

Définitions : Opérations sur les matrices

Opérations d'espace vectoriel. Pour $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$, $B=(b_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ (même taille) et $\lambda\in\K$ :
$$A+B=(a_{i,j}+b_{i,j})\qquad\text{et}\qquad\lambda\cdot A=(\lambda a_{i,j})$$
Opération de multiplication interne. Pour $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $B=(b_{i,j})\in\mathcal{M}_{p,q}(\K)$ :
$$A\times B=(c_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant j\leqslant q}}$$ où l'on a :
$$\ds\forall i\in[\![1,n]\!],\;\forall j\in[\![1,q]\!],\; c_{i,j}=\sum_{k=1}^{p}a_{i,k}b_{k,j}$$ On dit que le coefficient $c_{i,j}$ s'obtient par «produit» de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$.
Opération de transposition. Pour $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ :
$$\ds{}^{t}A=(a_{j,i})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant j\leqslant p}}$$ L'opération de transposition consiste donc, pour tout couple $(i,j)$ d'indices, à transformer la ligne $i$ de la matrice $A$ en la colonne $i$ de ${}^{t}A$ et la colonne $j$ de la matrice $A$ en la ligne $j$ de ${}^{t}A$.

Théorème : Propriétés des opérations matricielles

L'ensemble $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ muni des deux opérations d'addition et de multiplication externe est un $\K$-espace vectoriel de dimension $n\times p$ dont une base est la famille des matrices élémentaires $(E_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant,j\leqslant p}}$.
La multiplication interne des matrices (lorsqu'elle est définie, ce qui est le cas en particulier pour des matrices carrées de même taille) est associative (on supprime les parenthèses et les symboles de multiplication) et distributive par rapport à l'addition. Par contre :
- la multiplication des matrices n'est pas commutative,
- il est faux de croire que : $AB=\Theta\;\implies\; A=\Theta\;\text{ou}\; B=\Theta$,
- en général, les identités remarquables sont fausses.
L'application $A\mapsto{}^{t}A$ est linéaire et involutive de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ dans $\mathcal{M}_{p,n}(\K)$.
De plus, si $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $B\in\mathcal{M}_{p,q}(\K)$ alors :
$${}^{t}(AB)={}^{t}B\,{}^{t}A$$

Définition

La base $(E_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant j\leqslant p}}$ de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ est appelée base canonique de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$.

Définition : Opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice

On définit les trois opérations suivantes sur les lignes d'une matrice :

multiplication par un scalaire $a$ non nul : $L_{i}\leftarrow aL_{i}$ ($L_{i}$ désigne la ligne numéro $i$),
permutation de deux lignes : $L_{i}\leftrightarrow L_{j}$ (avec $i\ne j$),
combinaison d'une ligne avec un multiple d'une autre : $L_{i}\leftarrow L_{i}+\lambda L_{j}$ (avec $j\ne i$ et $\lambda\in\K$).

Remarques

On tolère comme quatrième opération élémentaire la composée d'une multiplication avec une combinaison (dans un sens ou dans l'autre) : $L_{i}\leftarrow aL_{i}+bL_{j}$ avec $a\ne0$ et $i\ne j$.
Chaque opération élémentaire sur les ligne d'une matrice correspond à la multiplication à gauche par une certaine matrice inversible.
La méthode du pivot de Gauss appliquée à une matrice $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ est une succession d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ jusqu'à obtenir une matrice $A'$ qualifiée d'échelonnée en lignes c'est à dire que, sur chaque ligne de $A'$, le premier coefficient non nul (appelé pivot) a un numéro de colonne strictement supérieur au pivot de la ligne qui la précède (si une ligne est nulle alors toutes les lignes qui suivent doivent être nulles). Le rang de la matrice $A$ est alors égal au nombre de pivots (non nuls) de $A'$ ou encore au nombre de lignes non nulles de $A'$ (ce nombre est invariant quelle que soit la technique d'échelonnement). Les matrices $A$ et $A'$ ont le même rang : le rang d'une matrice est invariant par une opération élémentaire sur une ligne.

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