Définitions : Système et système homogène
Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $B\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)$.
<html><a name=“nombre_solutions_systeme”></a></html>
Théorème : Nombre de solutions d'un système linéaire
Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $B\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)$.
// Résolution de l'équation AX=B A=[1 4 ; 1 0 ; 1 2 ; 1 1] ; B=[1 ; 2 ; 3 ; 4] // par exemple [n,p]=size(A) ; r=rank(A) if (n==p)&(r==n) then X=inv(A)*B disp("Une solution unique :") ; disp(X) else [X,kerA]=linsolve(A,-B) if X==[] then disp("Pas de solution") elseif kerA==[] then disp("Une solution unique :") ; disp(X) else disp("Solution particulière :") ; disp(X) disp("À une combinaison linéaire près de :") ; disp(kerA) end end
<html><a name=“lien_systeme_matrice”></a></html>
Théorème : Lien avec les matrices inversibles
Une matrice $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ est inversible si et seulement si le système linéaire $AX=B$, d'inconnue $X\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)$, admet une unique solution pour tout $B\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)$.