Vocabulaire des ensembles

• Un ensemble $E$ est une collection (ou famille) d'objets appelés éléments. Si cet ensemble ne contient aucun élément, on l'appelle ensemble vide et on le note $\varnothing$.
• On dit qu'un objet $x$ appartient à un ensemble $E$ si et seulement si $x$ est un élément de $E$ (notation : $x\in E$). Dans le cas contraire, on dit que $x$ n'appartient pas à $E$ (notation : $x\notin E$).
• On dit qu'un ensemble $A$ est un sous-ensemble d'un ensemble $E$ (ou bien que $A$ est une partie de $E$ ou bien encore que $A$ est inclus dans $E$) si et seulement si :
  $$\forall x\in A,\ x\in E$$(notation : $A\subset E$). On dit aussi que $E$ contient $A$ (notation : $E\supset A$).
• L'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble $E$ se note $\mathcal{P}(E)$.
• Deux ensembles $A$ et $B$ sont dits égaux si et seulement s'ils sont inclus l'un dans l'autre : $A\subset B$ et $B\subset A$ (ou encore: $x\in A\iff x\in B$).

Soit $A$ et $B$ deux parties de $E$.

• Intersection : $A\cap B=\left\{ x\in E\mid x\in A\;\text{et}\; x\in B\right\}$.
  Les deux parties $A$ et $B$ sont dites disjointes si et seulement si : $A\cap B=\varnothing$.
• Réunion : $A\cup B=\left\{ x\in E\mid x\in A\;\text{ou}\; x\in B\right\}$.
• Complémentaire : $\bar{A}=\left\{ x\in E\mid x\not\notin A\right\}$.
• Différence : $A\setminus B=\left\{ x\in E\mid x\in A\;\text{et}\; x\notin B\right\}$.
• Produit cartésien : $A\times B$ est l'ensemble des couples d'éléments $(x,y)$ avec $x\in A$ et $y\in B$.

Soit $I$ un ensemble (souvent une partie de $\N$). Pour tout $i\in I$, on considère une partie $A_{i}$ de $E$. On note $(A_{i})_{i\in I}$ la famille de toutes ces parties.

• Intersection : $\ds\bigcap_{i\in I}{A_{i}}=\left\{ x\in E\mid\forall i\in I,\; x\in A_{i}\right\}$.
• Réunion : $\ds\bigcup_{i\in I}{A_{i}}=\left\{ x\in E\mid\exists i\in I,\; x\in A_{i}\right\}$.
• Produit cartésien : $\ds\prod_{i\in I}{A_{i}}$ est l'ensemble des « suites » $(x_{i})_{i\in I}$ d'éléments de $E$ tels que : $\forall i\in I,\; x_{i}\in A_{i}$.
  Par extension : $E^{n}=E\times\dots\times E$ ($n$ facteurs) et $E^{I}=E\times E\times\dots$.

Des parties $A_{1},\dots,A_{n}$ de $E$ forment une partition d'un ensemble $E$ si et seulement si :
$$A_{1}\cup\dots\cup A_{n}=E\qquad\text{et}\qquad\forall i\ne j,\; A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$$Il est d'usage que ces parties soient toutes non vides.