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math:2:produit_scalaire

Dans tout ce chapitre, $E$ est un espace vectoriel sur $\R$.

Produit scalaire

Définition

On dit qu'une application $\varphi\colon E\times E\to\R$ est un produit scalaire sur $E$ si et seulement si $\varphi$ est une forme :

  • bilinéaire :
    $$\ds\forall(\vv{x_1},\vv{x_2},\vv{y})\in E^{3},\forall(\lambda_{1},\lambda_{2})\in\R^{2},\;\varphi(\lambda_{1}\vv{x_1}+\lambda_{2}\vv{x_2},\vv{y})=\lambda_{1}\varphi(\vv{x_1},\vv{y})+\lambda_{2}\varphi(\vv{x_2},\vv{y})$$ $$\ds\forall(\vv{x},\vv{y_1},\vv{y_2})\in E^{3},\forall(\lambda_{1},\lambda_{2})\in\R^{2},\;\varphi(\vv{x},\lambda_{1}\vv{y_1}+\lambda_{2}\vv{y_2})=\lambda_{1}\varphi(\vv{x},\vv{y_1})+\lambda_{2}\varphi(\vv{x},\vv{y_1})$$
  • symétrique :
    $$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\varphi(\vv{y},\vv{x})=\varphi(\vv{x},\vv{y})$$
  • positive :
    $$\ds\forall\vv{x}\in E,\;\varphi(\vv{x},\vv{x})\geqslant0$$
  • non dégénérée : $$\ds\forall\vv{x}\in E,\;\varphi(\vv{x},\vv{x})=0\;\iff\;\vv{x}=\vv*{0}{E}$$

On utilise souvent les notations $\left\langle \vv{x}\mid\vv{y}\right\rangle$ ou bien $\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle$ ou encore $\left(\vv{x}\mid\vv{y}\right)$ au lieu de $\varphi(\vv{x},\vv{y})$.

On dit aussi que $\varphi$ est définie-positive à la place de positive et non dégénérée.

Théorème

Si $\varphi\colon E\times E\to\R$ est une forme symétrique et linéaire par rapport à la première (resp. seconde) variable alors $\varphi$ est linéaire par rapport à la seconde (resp. première) variable et donc $\varphi$ est bilinéaire symétrique.

Exemples

  1. Montrer que les applications suivantes sont des produits scalaires sur $E$ :
    1. $E=\R^{n}$ et, pour tous vecteurs $x=\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}$ et $y=\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n} \end{pmatrix}$ de $E$ :
      $$\ds\left\langle \vv{x}\mid\vv{y}\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n}$$ Ce produit scalaire est appelé produit scalaire canonique ou produit scalaire euclidien de $\R^{n}$.
    2. $E=\mathcal{C}^0([a,b])$ avec $a<b$ et, pour tout couple $(f,g)\in E^{2}$ : $$\ds \varphi(f,g)=\int_{a}^{b}{f(t)g(t)\mathrm{d}t}$$
    3. $E=\R[X]$ et, pour tout couple $(P,Q)\in E^{2}$ :
      $$\ds \left\langle P,Q\right\rangle =\int_{0}^{+\infty}{P(t)Q(t)\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t}$$
    4. $E=\R[X]$ et, pour tout couple $(P,Q)\in E^{2}$ :
      $$\ds \varphi(P,Q)=\int_{-1}^{1}{\frac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^{2}}}\mathrm{d}t}$$
    5. $E=\R_n[X]$ et, pour tout couple $(P,Q)\in E^{2}$ :
      $$\ds \left( P\mid Q\right) =\sum_{k=0}^{n}{P(k)Q(k)}$$
    6. $E=\mathcal{M}_n(\R)$ et, pour tout couple $(A,B)\in E^{2}$ :
      $$\ds\left\langle A\mid B\right\rangle =\mathrm{tr}\left({}^t\!AB\right)$$
  2. On considère l'application $f$ définie pour $(\vv{x},\vv{y})=\left(\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3} \end{pmatrix}\right)\in\R^{3}\times\R^{3}$ par :
    $$f(\vv{x},\vv{y})=x_{1}y_{1}+6x_{2}y_{2}+3x_{3}y_{3}+2x_{1}y_{2}+2x_{2}y_{1}+3\lambda x_{1}y_{3}+3\lambda x_{3}y_{1}$$où $\lambda$ est un paramètre réel.
    1. Montrer que $f$ est une forme bilinéaire symétrique sur $\R^{3}$.
    2. Pour quelle(s) valeur(s) du réel $\lambda$, l'application $f$ est-elle un produit scalaire sur $\R^{3}$ ?

Théorème

Soit $\varphi$ un produit scalaire sur $E$. Alors :
$$\ds\forall\vv{x}\in E,\;\varphi(\vv{x},\vv{0_E})=\varphi(\vv{0_E},\vv{x})=0$$

Définition

On appelle espace euclidien tout couple $(E,\varphi)$ où $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et $\varphi$ un produit scalaire sur $E$.

Remarques
Par abus de langage, on dit souvent que $E$ est un espace euclidien.

math/2/produit_scalaire.txt · Dernière modification: 2020/05/25 09:39 par Alain Guichet