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math:2:familles_orthogonales

Familles orthogonales et orthonormales

Définition

Soit $\varphi$ un produit scalaire sur $E$.

  • On dit qu'une famille $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ de vecteurs est $\varphi$-orthogonale si et seulement si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux.
  • On dit qu'une famille $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ de vecteurs est $\varphi$-orthonormale (ou orthonormée) si et seulement si ses vecteurs sont unitaires et deux à deux orthogonaux.

Exemples

  1. Montrer que la base canonique de $\R^{n}$ est orthonormale pour le produit scalaire canonique de $\R^{n}$.
  2. Trois vecteurs deux à deux orthogonaux forment-ils une famille libre ?

Théorème : Propriété des familles orthogonale/orthonormales

Soit $\left\langle .,.\right\rangle $ un produit scalaire sur $E$ et $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ une famille de vecteurs.

  • Si la famille $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ est orthogonale pour $\left\langle .,.\right\rangle$ et ne contient pas le vecteur nul alors elle est libre.
  • Si la famille $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ est orthonormale pour $\left\langle .,.\right\rangle$ alors elle est libre. De plus, pour tout vecteur $\vv{x}\in\mathrm{Vect}(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$, on a : $$\ds\vv{x}=\left\langle \vv{x},\vv{x_1}\right\rangle \vv{x_1}+\dots+\left\langle \vv{x},\vv{x_p}\right\rangle \vv{x_p}=\sum_{i=1}^{p}{\left\langle \vv{x},\vv{x_i}\right\rangle \vv{x_i}}$$

Exemple

Soit $E$ un espace euclidien. Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires dans $E$ tels que $F\perp G$. Soit $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_k})$ une base orthonomale de $F$ et $(\vv{x_{k+1}},\dots,\vv{x_n})$ une base orthonormale de $G$. On note $\vv{x}=\vv{x_F}+\vv{x_G}$ la décomposition dans la somme directe. Montrer que, pour tout vecteur $\vv{x}\in E$, on a : $$\ds\vv{x_F}=\sum_{i=1}^{k}{\left\langle \vv{x},\vv{x_i}\right\rangle \vv{x_i}}\qquad\text{et}\qquad\vv{x_G}=\sum_{i=k+1}^{n}{\left\langle \vv{x},\vv{x_i}\right\rangle \vv{x_i}}$$

Théorème : Orthonormalisation de Gram-Schmidt

Soit $\left\langle .,.\right\rangle$ un produit scalaire sur $E$ et $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_p})$ une famille libre dans $E$. Alors, il existe une famille orthonormale $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ de $E$ telle que : $$\ds\forall k\in\llbracket1,p\rrbracket,\;\mathrm{Vect}(\vv{x_1},\dots,\vv{x_k})=\mathrm{Vect}(\vv{e_1},\dots,\vv{e_k})$$ De plus, on peut construire par récurrence $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ de sorte que, pour tout $k\in\llbracket1,p\rrbracket$, on a : $$\ds\vv{x_k}=\frac{1}{\|\vv{y_k}\|}\vv{y_k}\qquad\text{avec}\qquad\vv{y_k}=\vv{e_k}-\sum_{i=1}^{k-1}{\left\langle \vv{e_k},\vv{x_i}\right\rangle \vv{x_i}}$$

Orthonormalisation

Exemples

  1. Dans l'espace vectoriel $\R^{3}$ muni du produit scalaire canonique, orthonormaliser la famille $\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\right)$.
  2. On considère l'espace vectoriel $\R_3[X]$ muni du produit scalaire $\ds\left\langle P,Q\right\rangle =\int_{0}^{1}{P(t)Q(t)\mathrm{d}t}$.
    Orthonormaliser les familles $(1,X,X^{2})$ puis $\left((X-1)^{2},(X-1)(X+1),(X+1)^{2}\right)$.

Remarque

Soit $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p}\right)$ et $\left(\vv{y_1},\dots,\vv{y_q}\right)$ deux familles libres telles que les deux sous-espaces qu'elles engendrent sont orthogonaux. On sait déjà que la concaténation des deux familles libres est libre (puisque les deux sous-espaces engendrés sont orthogonaux). Alors, le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt sur la famille $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p},\vv{y_1},\dots,\vv{y_q}\right)$ consiste à orthonormaliser seulement chacune des deux familles initiales.

math/2/familles_orthogonales.txt · Dernière modification: 2020/05/25 10:03 par Alain Guichet