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math:2:orthogonalite

Orthogonalité

Dans ce paragraphe, $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$.

Définition

  • On dit que deux vecteurs $\vv{x}$ et $\vv{y}$ sont orthogonaux pour le produit scalaire $\varphi$ (ou bien qu'il sont $\varphi$-orthogonaux) si et seulement si :
    $$\varphi(\vv{x},\vv{y})=0$$et on note : $\vv{x}\perp\vv{y}$.
  • Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On dit que $F$ et $G$ sont orthogonaux pour $\varphi$ (que l'on note $F\perp G$) si et seulement si tout vecteur de $F$ est orthogonal à chaque vecteur de $G$, c'est à dire que :
    $$\ds\forall\vv{x}\in F,\;\forall\vv{y}\in G,\;\varphi(\vv{x},\vv{y})=0$$

Exemples

  1. Déterminer l'ensemble des vecteurs de $\R^{3}$ orthogonaux au vecteur $e_{1}+e_{2}+e_{3}$ pour le produit scalaire canonique.
  2. Déterminer un polynôme de degré 1 et unitaire orthogonal au polynôme constant égal à 1 pour le produit scalaire $\left\langle P,Q\right\rangle =\int_{0}^{1}{P(t)Q(t)\mathrm{d}t}$ puis pour le produit scalaire $\left\langle P\mid Q\right\rangle =\sum_{k=0}^{n}{P(k)Q(k)}$ de $\R_n[X]$.
  3. (Résultats de cours) Soit $E$ un espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\langle.,.\rangle$.
    1. Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $F\perp G$. Montrer que $F$ et $G$ sont en somme directe.
    2. Soit $F_{1},\dots, F_{k}$ des sous-espaces vectoriels de $E$ deux à deux orthogonaux. Montrer que la somme $F_{1}+\dots+F_{k}$ est directe.

Théorème : Caractérisation de l'orthogonalité en dimension finie

Soit $F=\mathrm{Vect}(\vv{x_1},\dots,\vv{x_k})$ et $G=\mathrm{Vect}(\vv{y_1},\dots,\vv{y_h})$ deux sous-espaces de $E$. Alors :
$$\ds F\perp G\;\iff\;\forall(i,j)\in\llbracket1,k\rrbracket\times\llbracket1,h\rrbracket,\;\varphi(\vv{x_i},\vv{y_j})=0$$

Remarque

En pratique, on utilise ce résultat avec des bases plutôt qu'avec des familles génératrices quelconques.

Théorème : Théorème de Pythagore

Deux vecteurs $\vv{x}$ et $\vv{y}$ de $E$ sont $\varphi$-orthogonaux si et seulement si $\ds\|\vv{x}+\vv{y}\|^{2}=\|\vv{x}\|^{2}+\|\vv{y}\|^{2}$.

math/2/orthogonalite.txt · Dernière modification: 2020/06/11 23:42 par Alain Guichet