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math:2:endomorphisme_symetrique

Généralités sur les endomorphismes symétriques

Dans tout ce chapitre, $\left(E,\left\langle .,.\right\rangle \right)$ désigne un espace euclidien de dimension finie $n$.

Définition

On dit qu'un endomorphisme $u$ de $E$ est symétrique si et seulement si :
$$\ds\forall(\vv{x},\vv{y})\in E^{2},\;\left\langle u(\vv{x}),\vv{y}\right\rangle =\left\langle \vv{x},u(\vv{y})\right\rangle$$

Remarque

En fait, on montre que toute application $u\colon E\to E$ telle que $\left\langle u(\vv{x}),\vv{y}\right\rangle =\left\langle \vv{x},u(\vv{y})\right\rangle$ pour tout $(\vv{x},\vv{y})\in E^{2}$ est linéaire.

Exemple

On considère l'espace vectoriel $\R^{3}$ muni de son produit scalaire canonique. Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\vv{e_2},\vv{e_3})$ sa base canonique. Soit $u$ l'endomorphisme de $\R^{3}$ dont la matrice dans la base $\mathcal{B}$ est : $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$$ Montrer que $u$ est symétrique.

Théorème : Cas d'un sous-espace stable

Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ symétrique et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Si $F$ est stable par $u$ alors $F^{\perp}$ est aussi stable par $u$.

Théorème : Caractérisation dans une base

Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ une base de $E$. Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Alors, $u$ est symétrique si et seulement si : $$\ds\forall(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2},\;\left\langle u(\vv{e_i}),\vv{ej}\right\rangle =\left\langle \vv{e_i},u(\vv{e_j})\right\rangle$$

Théorème : Caractérisation matricielle

Soit $u\in\mathcal{L}(E)$, $\mathcal{B}$ une base orthonormale de $E$ et $A=\text{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$. Alors, l'endomorphisme $u$ est symétrique si et seulement si la matrice $A$ est symétrique.

Remarque

Dans le cas d'une base non orthonormale, un endomorphisme symétrique peut être représenté par une matrice non symétrique. Par exemple, dans $\R^{3}$ muni de son produit scalaire canonique, on considère l'endomorphisme $u$ de matrice : $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ dans la base canonique $\mathcal{B}$ (qui est orthonormale). D'après le théorème précédent, $u$ est symétrique. Soit maintenant $\mathcal{B}'=\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)$Alors, la matrice de $u$ dans $\mathcal{B}'$ est : $$\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ qui n'est pas symétrique.

Théorème : Cas des projecteurs

Soit $E$ un espace euclidien et $p$ un projecteur de $E$. Alors, l'endomorphisme $p$ est un endomorphisme symétrique si et seulement si $p$ est un projecteur orthogonal.

Exemple

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer qu'une symétrie $s$ de $E$ par rapport à $F$ est un endomorphisme symétrique si et seulement si $s$ est la symétrie sur $F$ dans la direction de $F^{\perp}$ (appelée symétrie orthogonale par rapport à $F$).

math/2/endomorphisme_symetrique.txt · Dernière modification: 2020/06/22 10:50 par Alain Guichet