Notons $A=(a_{i,j})$ la matrice de $u$ dans $\mathcal{B}=(e_{1},\dots,e_{n})$ qui est orthonormale. Notons $E_{i}$ la matrice colonne des coordonnées de $e_{i}$ dans la base $\mathcal{B}$. Comme la base est orthonormale alors, pour tout $(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}$, on a : $$\begin{array}{rcl} \ds\left\langle u(\vv{e_i}),\vv{e_j}\right\rangle =\left\langle \vv{e_i},u(\vv{e_j})\right\rangle & \iff & \ds{}^{t}{(AE_{i})}E_{j}={}^{t}{E_{i}}AE_{j} \\ & \iff & \ds\begin{pmatrix}a_{i,1} & \dots & a_{i,n} \end{pmatrix}E_{j}={}^{t}{E_{i}}\begin{pmatrix} a_{j,1} \\ \vdots \\ a_{j,n} \end{pmatrix} \\ & \iff & a_{i,j}=a_{j,i} \end{array}$$ donc, d'après le théorème précédent, $u$ est symétrique si et seulement si $A$ est symétrique.