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math:2:reduction_endomorphisme_symetrique

Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques

Cas des endomorphismes symétriques

Théorème : Orthogonalité des sous-espaces propres

  • Si $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ alors ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux.
  • Si $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ et si $\vv{x_1},\dots,\vv{x_p}$ sont des vecteurs propres de $u$ associés à des valeurs propres deux à deux distinctes de $u$ alors la famille $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p}\right)$ est orthogonale.

Théorème

Tout endomorphisme symétrique de $E$ est diagonalisable (à valeurs propres toutes réelles) dans une base orthonormale.

Exemple

Soit $a\in\R$ et $u\in\mathcal{L}(\R^{3})$ tel que : $$u\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} a \\ a \\ a \end{pmatrix}$$ $$u\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $$u\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} a \\1 \\1 \end{pmatrix}$$ Justifier que $u$ est un endomorphisme symétrique puis le diagonaliser dans une base orthonormale.

Cas des matrices symétriques

Théorème

Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormale constituée de vecteurs propres. Autrement dit, une matrice $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$ est symétrique si et seulement s'il existe une matrice orthogonale $P$ telle que ${}^{t}PAP$ est diagonale.

Exemple

    1. Justifier que la matrice $A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\1 & 2 & 1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ est diagonalisable dans une base orthonormale que l'on précisera.
    2. Déterminer les coefficients de la matrice $A^{n}$ en fonction de l'entier $n$.
  1. Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ non nulle. On pose: $S={}^{t}\!AA$ et $T=A\,{}^{t}\!A$.
    1. Justifier que $S$ et $T$ sont diagonalisables et que leurs valeurs propres sont positives ou nulles.
    2. Soit $\lambda$ une valeur propre non nulle de $S$. Montrer que $\lambda$ est valeur propre de $T$ et que :
      $$\dim(E_{\lambda}(S))\leqslant\dim(E_{\lambda}(T))$$
    3. Montrer que $S$ et $T$ ont les mêmes valeurs propres non nulles associées à des sous-espaces propres de même dimension.
    4. Montrer qu'il existe une matrice symétrique $B$ à valeurs propres toutes positives ou nulles telle que ${}^t\!AA=B^2$.

Théorème : Décomposition en combinaison de projecteurs de rang 1

Soit $A$ une matrice symétrique réelle de $\mathcal{M}_{n}(\R)$. Alors, notant $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$ les valeurs propres de $A$ et $(X_{1},\dots,X_{n})$ une base orthonormale de vecteurs propres de $A$ telle que $AX_{i}=\lambda_{i}X_{i}$ pour tout entier $i\in\llbracket1,n\rrbracket$, on a : $$\ds A=\sum_{i=1}^{n}{\lambda_{i}X_{i}{}^{t}X_{i}}=\lambda_{1}X_{1}{}^{t}X_{1}+\dots+\lambda_{n}X_{n}{}^{t}X_{n}$$ En particulier, $A$ est combinaison linéaire de $n$ matrices de projecteurs de rang 1.

Exemple

Soit $u$ un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien $E$. Soit $\lambda_{1}<\dots<\lambda_{k}$ ses valeurs propres distinctes et $F_{1},\dots,F_{k}$ ses sous-espaces propres associés respectifs. Montrer que : $$u=\lambda_{1}p_{F_{1}}+\dots+\lambda_{k}p_{F_{k}}$$

math/2/reduction_endomorphisme_symetrique.txt · Dernière modification: 2020/06/22 11:08 par Alain Guichet