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math:2:forme_quadratique

Formes quadratiques

Définition

On appelle forme quadratique associée à un endomorphisme symétrique $u$ de $E$ l'application :
$$q\colon E\to\R,\;\vv{x}\mapsto\left\langle u(\vv{x}),\vv{x}\right\rangle$$

Théorème

Soit $u$ un endomorphisme symétrique de $E$, $\mathcal{B}$ une base orthonormale de $E$ et $A=\text{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$. Pour $\vv{x}\in E$, on note $X=\text{Mat}_{\mathcal{B}}(\vv{x})$. Si $q$ désigne la forme quadratique associée à $u$ alors :
$$\ds\forall\vv{x}\in E,\;q(\vv{x})={}^{t}XAX$$

Exemple

Soit $q$ la forme quadratique associée à l'endomorphisme symétrique $u$ de $E$.

    1. Que vaut $q(\vv*{0}{E})$ ? Exprimer $q(\alpha\vv{x})$ en fonction de $\alpha$ et $q(\vv{x})$ où $\vv{x}\in E$ et $\alpha\in\R$.
    2. Soit $\vv{x}$ un vecteur propre unitaire de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$. Que vaut $q(\vv{x})$ ?
  1. Soit $\mathcal{B}$ une base orthonormale quelconque de $E$. Soit $A=\text{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$. On note : $A=(a_{i,j})$. Soit $\vv{x}\in E$ de coordonnées $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$ dans la base $\mathcal{B}$. Montrer que :
    $$\ds q(\vv{x})=\sum_{i=1}^{n}{a_{i,i}\alpha_{i}^{2}}+2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}{a_{i,j}\alpha_{i}\alpha_{j}}$$
  2. Soit $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n})$ une base orthonormale de $E$ constituée de vecteurs propres de $u$ (associés aux valeurs propres respectives $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$).
    1. Montrer que : $$\ds\forall\vv{x}=\sum_{k=1}^{n}{\alpha_{k}\vv{x_k}}\in E,\;q(\vv{x})=\sum_{k=1}^{n}{\lambda_{k}\alpha_{k}^{2}}$$
    2. En déduire, en notant $a=\min(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$ et $b=\max(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$, que : $$\ds\forall\vv{x}\in E,\;a\|\vv{x}\|^{2}\leqslant q(\vv{x})\leqslant b\|\vv{x}\|^{2}$$
    3. À quelles conditions nécessaires et suffisantes (portant sur $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$), a-t-on :
      1. $\forall\vv{x}\in E,\;q(\vv{x})\geqslant0$ ?
      2. $\forall\vv{x}\in E,\;q(\vv{x})\leqslant0$ ?
      3. $\forall\vv{x}\in E\setminus\left\{ \vv{0_E}\right\} ,\;q(\vv{x})>0$ ?
      4. $\forall\vv{x}\in E\setminus\left\{ \vv{0_E}\right\} ,\;q(\vv{x})<0$ ?
math/2/forme_quadratique.txt · Dernière modification: 2020/06/22 11:11 par Alain Guichet