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math:2:derive

Dérivabilité sur un intervalle

Différents nombres dérivés en un point

Définition

Soit $f\colon I\to\R$ et $x_{0}\in I$.

  • On dit que $f$ est dérivable en $x_{0}$ si et seulement si le taux d'accroissement $\ds\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ et on appelle nombre dérivé de $f$ en $x_{0}$ la limite ainsi obtenue.
    Notation :
    $$\ds f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim_{h\to0}{\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$$
  • Lorsque $f$ est dérivable en $x_{0}$, la droite d'équation $y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$ est appelée tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point de coordonnées $(x_{0},f(x_{0}))$.

Remarque

On a toujours affaire à une forme indéterminée de limite pour obtenir un nombre dérivé.

Théorème

Soit $f\colon I\to\R$ et $x_{0}\in I$.

  • $f$ est dérivable en $x_{0}$ si et seulement s'il existe un réel $A$ tel que :
    $$\ds f(x) \underset{x \to x_0}{=} f(x_{0})+A(x-x_{0})+o(x-x_{0})$$ ou bien :
    $$\ds f(x_{0}+h) \underset{h \to 0}{=} f(x_{0})+Ah+o(h)$$ et alors le réel $A$ est tel que : $A=f'(x_{0})$.
  • Si $f$ est dérivable en $x_{0}$ alors $f$ est continue en $x_{0}$ (la réciproque est fausse, par exemple $x\mapsto|x|$ en $x_{0}=0$).

Définition

Soit $f\colon I\to\R$ et $x_{0}\in I$.

  • On dit que $f$ est dérivable à gauche (resp. droite) en $x_{0}$ si et seulement si le taux d'accroissement $\ds\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ avec $x<x_{0}$ (resp. $x>x_{0}$) et on appelle nombre dérivé à gauche (resp. droite) de $f$ en $x_{0}$ la limite ainsi obtenue.
    Notations :
    $$\ds f_{g}'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}^{-}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim_{h\to0^{-}}{\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$$ $$\ds f_{d}'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}^{+}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim_{h\to0^{+}}{\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$$
  • Lorsque $f$ est dérivable à gauche (resp. droite) en $x_{0}$, on appelle demi-tangente à gauche (resp. droite) à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ la demi-droite définie respectivement par :
    $$\ds x\leqslant x_{0}\quad\text{et}\quad y=f(x_{0})+f_{g}'(x_{0})(x-x_{0})$$ $$\ds x\geqslant x_{0}\quad\text{et}\quad y=f(x_{0})+f_{d}'(x_{0})(x-x_{0}))$$

Remarque

Lorsque l'un de ces deux taux d'accroissement a pour limite l'infini, on parle de demi-tangente verticale.

Théorème

Soit $f\colon I\to\R$ et $x_{0}\in I$. Alors, $f$ est dérivable en $x_{0}$ si et seulement si $f$ est dérivable à gauche et à droite en $x_{0}$ et $f_{g}'(x_{0})=f_{d}'(x_{0})$, cette valeur commune étant alors égale à $f'(x_{0})$.

Fonctions de classe C^1

Définition

Soit $f\colon I\to\R$.

  • On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si et seulement si $f$ est dérivable en chaque point de $I$ et on note alors $f'\colon x\mapsto f'(x)$ la fonction dérivée de $f$ sur $I$ ainsi obtenue.
    On note $\mathcal{D}^{1}(I)$ l'ensemble des fonctions dérivables sur $I$.
  • On dit que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ si et seulement si $f$ est dérivable sur $I$ et $f'$ est continue sur $I$.
    On note $\mathcal{C}^1(I)$ l'ensemble des fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$.

Théorème : Lien avec la continuité

Si $f\colon I\to\R$ est dérivable sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$ (la réciproque est fausse).

Théorème : Opérations sur les fonctions dérivables et de classe C^1

  • $\mathcal{D}^{1}(I)$ et $\mathcal{C}^1(I)$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{A}^1(I,\R)$ et on a :
    $$\mathcal{C}^1(I)\subset\mathcal{D}^{1}(I)\subset\mathcal{C}^0(I)$$
  • Le produit de deux fonctions $f$ et $g$ dérivables (resp. de classe $\mathcal{C}^1$) sur $I$ est dérivable (resp. de classe $\mathcal{C}^1$) sur $I$ et on a :
    $$(fg)'=f'g+fg'$$
  • Le quotient de deux fonctions $f$ et $g$ dérivables (resp. de classe $\mathcal{C}^1$) sur $I$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $I$ est dérivable (resp. de classe $\mathcal{C}^1$) sur $I$ et on a :
    $$\ds\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$$
  • Si $f$ est dérivable (resp. de classe $\mathcal{C}^1$) sur $I$ et si $g$ est dérivable (resp. de classe $\mathcal{C}^1$) sur $J\supset f(I)$ alors $g\circ f$ est dérivable (resp. de classe $\mathcal{C}^1$) sur $I$ et on a :
    $$\ds (g\circ f)'=f'\times(g'\circ f)$$

Théorème : Dérivée de la réciproque

Soit $f\colon I\to\R$. On suppose que $f$ est dérivable et strictement monotone sur $I$. On note: $J=f(I)$. Alors, $f^{-1}$ est dérivable sur $J'=\left\{ y\in J\,\mid\,\exists x\in I\;/\; f(x)=y,\; f'(x)\ne0\right\}$ et on a :
$$\ds\forall y\in J',\;\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}$$ou encore :
$$\ds\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'\left(x\right)}\qquad\text{avec}\quad x\in I,\quad y=f(x),\quad f'(x)\ne0$$

Remarque
Les fonctions trigonométriques réciproques ont pour fonction dérivée: $$\ds\forall x\in\left]-1,1\right[,\;\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$ $$\ds \forall x\in\left]-1,1\right[,\;\arccos'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$ $$\ds\forall x\in\R,\;\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$$

Les grands théorèmes

Théorème : Théorème de Rolle

On suppose que $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $\left]a,b\right[$ (au moins). Si $f(a)=f(b)$ (et en particulier si ces réels sont nuls) alors :
$$\ds\exists c\in\left]a,b\right[\;/\; f'(c)=0$$

Théorème : Égalité des accroissements finis, équivalent au théorème de Rolle

On suppose que $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $\left]a,b\right[$ (au moins). Alors :
$$\ds\exists c\in\left]a,b\right[\;/\; f'({c})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Théorème : Inégalité des accroissements fini

On suppose que $f$ est dérivable sur $I$.

  • On suppose que :
    $$\ds\forall x\in I,\; m\leqslant f'(x)\leqslant M$$ alors :
    $$\ds\forall(a,b)\in I^{2},\; a\leqslant b\;\implies\; m(b-a)\leqslant f(b)-f(a)\leqslant M(b-a)$$
  • On suppose que :
    $$\ds\forall x\in I,\;\left|f'(x)\right|\leqslant M$$ alors :
    $$\ds\forall(a,b)\in I^{2},\;\left|f(b)-f(a)\right|\leqslant M\left|b-a\right|$$

Théorème : Lien dérivée/variations

On suppose que $f$ est dérivable sur $\left]a,b\right[$.

  • $f$ est constante sur $\left]a,b\right[$ si et seulement si $f'$ est la fonction nulle sur $\left]a,b\right[$.
  • $f$ est croissante (resp. décroissante) sur $\left]a,b\right[$ si et seulement si $f'\geqslant0$ (resp. $f'\leqslant0$) sur $\left]a,b\right[$.
  • $f$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur $\left]a,b\right[$ si et seulement si $f'>0$ (resp. $f'<0$) sur $\left]a,b\right[$ sauf, éventuellement, en un nombre fini de points en lesquels elle peut être nulle.

Fonctions de classe C^n et de classe C^∞

Définition

Soit $f\colon I\to\R$ et $n\in\N^{*}$.

  • On dit que $f$ est $n$ fois dérivable sur $I$ si et seulement si $f$ est dérivable sur $I$ et $f'$ est $n-1$ fois dérivable sur $I$. On note alors $f^{(n)}$ la fonction dérivée d'ordre $n$ de $f$ (on remarque que $f^{(1)}=f'$) et $\mathcal{D}^{n}(I)$ l'ensemble des fonctions $n$ fois dérivables sur $I$.
  • On dit que $f$ est de classe $\mathcal{C}^n$ sur $I$ si et seulement si $f$ est dérivable sur $I$ et $f'$ est de classe $\mathcal{C}^{n-1}$ sur $I$. On note alors : $f\in\mathcal{C}^{n}(I)$.
  • On dit que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $I$ si et seulement si $f$ est indéfiniment dérivable sur $I$. On note alors : $f\in\mathcal{C}^{\infty}(I)$.

Théorème Opérations sur les fonctions de classe C^n et de classe C^∞

Soit $n\geqslant2$.

  • $\mathcal{D}^{n}(I)$, $\mathcal{C}^{n}(I)$ et $\mathcal{C}^{\infty}(I)$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{A}(I,\R)$ et on a :
    $$\ds\mathcal{C}^{\infty}(I)\subset\mathcal{C}^{n}(I)\subset\mathcal{D}^{n}(I)\subset\mathcal{C}^{n-1}(I)\subset\mathcal{D}^{n-1}(I)\subset\mathcal{C}^{0}(I)\subset\mathcal{A}(I,\R)$$
  • Le produit de deux fonctions $f$ et $g$ de classe $\mathcal{C}^{n}$ (resp. de classe $\mathcal{C}^{\infty}$) sur $I$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ (resp. de classe $\mathcal{C}^{\infty}$) sur $I$ et on a (formule de Leibniz) :
    $$\ds(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}f^{(n-k)}g^{(k)}}$$
  • Le quotient de deux fonctions de classe $\mathcal{C}^{n}$ (resp. de classe $\mathcal{C}^{\infty}$) sur $I$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $I$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ (resp. de classe $\mathcal{C}^{\infty}$) sur $I$.
  • Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ (resp. de classe $\mathcal{C}^{\infty}$) sur $I$ et si $g$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ (resp. de classe $\mathcal{C}^{\infty}$) sur $J\supset f(I)$ alors $g\circ f$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ (resp. de classe $\mathcal{C}^{\infty}$) sur $I$.

Extremum d'une fonction

Définition

  • On dit que $f\colon I\to\R$ admet un maximum (resp. minimum) local en $x_{0}\in I$ si et seulement s'il existe un intervalle ouvert $J$ centré en $x_{0}$ tel que :
    $$\ds\forall x\in J\cap I,\; f(x)\leqslant f(x_{0})\quad(\text{resp}\; f(x)\geqslant f(x_{0}))$$
  • On dit que $f\colon I\to\R$ admet un maximum (resp. minimum) global sur $I$ si et seulement si :
    $$\ds\exists x_{0}\in I\;/\;\forall x\in I,\; f(x)\leqslant f(x_{0})\quad(\text{resp}\; f(x)\geqslant f(x_{0}))$$

Remarques

  • Un extremum global est un extremum local.
  • On a déjà vu qu'une fonction continue sur un segment (intervalle fermé et borné) admet un maximum global et un minimum global.

Définition

On suppose que $f$ est dérivable sur $I$. On dit que $x_{0}$ est un point critique de $f$ si et seulement si $f'(x_{0})=0$.

Théorème : Condition nécessaire d'existence d'un extremum

Si $f$ est dérivable sur $I$ intervalle ouvert et si $f$ admet un extremum local en $x_{0}$ alors $x_{0}$ est un point critique de $f$.

Remarques

  • La réciproque est fausse (considérer la fonction cube en $x=0$).
  • Si $I$ n'est pas ouvert alors le résultat ne s'applique pas (considérer la fonction carrée sur $[1,2]$).
  • La fonction peut ne pas être dérivable en un extremum local (considérer la fonction $x\mapsto|x|$ en $x=0$).

Théorème : Condition suffisante d'existence d'un extremum

  • Si $f$ est dérivable sur $I$ et si $x_{0}\in I$ n'est pas une borne de $I$ alors $f$ admet un extremum local en $x_{0}$ si et seulement si $x_0$ est un point critique et $f'$ change de signe autour de $x_{0}$.
  • Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $I$ intervalle ouvert, si $x_{0}$ est un point critique de $f$ et si $f''(x_{0})>0$ (resp. $f''(x_{0})<0$) alors $f$ admet un minimum (resp. maximum) local en $x_{0}$.

Différentes formules de Taylor

Théorème : Formule de Taylor avec reste intégral

Soit $n\in\N$. On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$. Alors :
$$\ds\forall(a,x)\in I^{2},\; f(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}+\int_{a}^{x}{\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)\mathrm{d} t}$$

Remarque : Égalité de Taylor-Lagrange
Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$. La formule de Taylor qui précède permet d'établir cette autre formule :
$$\ds\forall(a,x)\in I^{2},\;\exists c\in[a,x]\;/\; f(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}+\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)$$

Théorème : Inégalité de Taylor-Lagrange

Soit $n\in\N$. On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$ et que $|f^{(n+1)}|$ est majorée par un réel positif $M$ sur $I$. On a :
$$\ds\forall(a,x)\in I^{2},\;\left|f(x)-\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}\right|\leqslant M\frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}$$ Dans le cas où $|f^{(n+1)}|$ n'est pas majorée sur $I$, on peut remplacer (dans l'inégalité) le réel $M$ par le réel $\ds\max_{[a,x]}|f^{(n+1)}|$ qui dépend du choix des réels $a$ et $x$.

Théorème : Formule de Taylor-Young, admis

Soit $n\in\N$. On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur $I$. On a :
$$\ds\forall a \in I,\; f(x) \underset{x \to a}{=} \sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}+o((x-a)^{n})$$

Remarque :
Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ au voisinage de $x$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\frac{f(x+h)-f(x)}{h} & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{f(x)+f'(x)h+o(h)-f(x)}{h} \\ & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{f'(x)h+o(h)}{h} \\ & \underset{h\to0}{=} & f'(x)+o(1) \end{array}$$ Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ au voisinage de $x$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{[f(x)+f'(x)h+\frac12 f''(x)h^2+o(h^2)]-[f(x)-f'(x)h+\frac12 f''(x)h^2+o(h^2)]}{2h} \\ & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{2f'(x)h+o(h^2)}{2h} \\ & \underset{h\to0}{=} & f'(x)+o(h) \end{array}$$ On en déduit que l'approximation du nombre dérivé est bien meilleure par cette seconde méthode. On peut tester le code Scilab qui suit pour s'en convaincre :

function y=f(x)
    y=exp(x)
endfunction
function y=fprime(x)
    y=exp(x)
endfunction
h=0.1 // avec un pas plus petit, les différences seront moins visibles
x=[0:h:5] ; n=length(x) ; y=feval(x,f)
y1=[(y(2:n)-y(1:n-1))/h] // 1 case de moins que x (la dernière)
y2=[(y(3:n)-y(1:n-2))/2/h] // 2 cases de moins que x (la première et la dernière)
yprime=feval(x,fprime)
plot2d(x(1:n-1),y1,2) // bleu
plot2d(x(2:n-1),y2,3) // vert
plot2d(x,yprime,5) // rouge
math/2/derive.txt · Dernière modification: 2020/05/12 09:41 par Alain Guichet