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math:2:application

Fonctions et applications

Fonction

Définition : Fonction

Soit $E$ et $F$ deux ensembles quelconques.

  • On dit que $f$ est une fonction de $E$ dans $F$ si et seulement si, à chaque élément $x$ de $E$, correspond au plus un unique élément $y$ de $F$ ; on note $y=f(x)$ cet élément lorsqu'il existe et on l'appelle image de $x$ par $f$. On note $f\colon E\to F,\; x\mapsto f(x)$ une telle fonction.
  • Soit $f\colon E\to F$ une fonction.
    • L'ensemble des éléments $x$ de $E$ qui admettent une image par $f$ est appelé domaine de définition de $f$.
    • Soit $y\in F$. Tout élément $x$ de $E$ tel que $y=f(x)$ est appelé antécédent de $y$ par $f$.
    • On appelle image d'une partie $A$ de $E$ par $f$ l'ensemble noté $f(A)$ des images des éléments de $A$ (ou encore l'ensemble des éléments de $F$ qui admettent un antécédent dans $A$ par $f$) :
      $$\ds f(A)=\left\{ y\in F\,\mid\,\exists x\in E\;/\; f(x)=y\right\}$$
    • Soit $f\colon E\to F$ et $g\colon F\to G$ deux fonctions. On appelle composée de $f$ avec $g$ la fonction $g\circ f\colon E\to G$ telle que :
      $$(g\circ f)(x)=g(f(x))$$lorsque $f(x)$ et $g(f(x))$ existent.

Exemples

  1. $f\colon\R\to\R,\; x\mapsto\sqrt{x}$ (avec $D_{f}=\R^{+}$)
  2. $u\colon\N\to\R,\; n\mapsto2^{n}$
  3. $g\colon\C\to\R,\; z\mapsto\arg(z)$ (avec $D_{g}=\C^{*}$)
  4. $h\colon\left\{ a,b,c\right\} \to\left\{ x,y\right\} ,\; a\mapsto x,\; c\mapsto x$.

Remarque
Soit $f\colon E\to F$, $y\in F$ et $B\subset F$. On appelle image réciproque de l'élément $y$ (resp. de l'ensemble $B$) par $f$ l'ensemble des antécédents de $y$ (resp. de tous les éléments de $B$) par $f$.
Notations :
$$\ds\overset{-1}{f}(y)=\left\{ x\in E\,\mid\, f(x)=y\right\} \qquad\text{et}\qquad\overset{-1}{f}(B)=\left\{ x\in E\,\mid\, f(x)\in B\right\}$$

Application, injection, surjection, bijection

Définition : Application

Soit $E$ et $F$ deux ensembles quelconques.

  • On dit que $f$ est une application de $E$ dans $F$ si et seulement si $f$ est une fonction dont le domaine de définition est $E$ : tout élément de $E$ admet exactement une image par $f$.
  • Soit $f\colon E\to F$ et $A\subset E$. On appelle restriction de $f$ à $E$ l'application notée $f_{|A}$ telle que :
    $$\forall x\in A,\; f_{|A}(x)=f(x)$$
  • Soit $f\colon E\to F$ et $E'\supset E$. On appelle prolongement de $f$ à $E'$ toute application $g\colon E'\to F$ telle que $g_{|E}=f$.
  • Soit $f\colon E\to F$ une application.
    • On dit que $f$ est injective (ou que $f$ est une injection) si et seulement si tout élément de $F$ admet au plus un antécédent par $f$.
    • On dit que $f$ est surjective (ou que $f$ est une surjection) si et seulement si tout élément de $F$ admet au moins un antécédent par $f$.
    • On dit que $f$ est bijective (ou que $f$ est une bijection) si et seulement si $f$ et injective et surjective : tout élément de $F$ admet exactement un antécédent par $f$.

Exemples

  1. $f\colon\R^{+}\to\R,\; x\mapsto\sqrt{x}$ est une injection
    $g\colon\R^{+}\to\R^{+},\; x\mapsto\sqrt{x}$ est une bijection.
  2. $u\colon\mathcal{C}^1(\R)\to\mathcal{C}^0(\R),\; f\mapsto f'$ est une surjection mais pas une bijection.
  3. $f\colon E\to F$ est bijective si et seulement s'il existe $g\colon F\to E$ telle que :
    $$g\circ f=\mathrm{Id}_{E} \qquad\text{et}\qquad f\circ g=\mathrm{Id}_{F}$$Alors : $g=f^{-1}$.

Définition : Ensemble au plus dénombrable

  • Un ensemble $E$ est dit fini si et seulement s'il est vide ou bien s'il existe un entier $n\in\N$ tel que $E$ est en bijection avec $[\![1,n]\!]$. L'entier $n$ est unique et est appelé cardinal de l'ensemble $E$ (le cardinal de l'ensemble vide vaut 0).
  • Un ensemble est dit dénombrable si et seulement s'il est en bijection avec $\N$.
  • Un ensemble est dit au plus dénombrable si et seulement s'il est fini ou dénombrable.

Exemples

  1. $\N$ est dénombrable !
  2. A l'aide de l'application :
    $$n\mapsto\begin{cases} 2n & \text{si }n\geqslant0 \\ -2n-1 & \text{si }n<0 \end{cases}$$ définie sur $\Z$, montrer que $\Z$ est dénombrable.
  3. Montrer que si $E$ et $F$ sont dénombrables alors $E\times F$ est dénombrable. En déduire que $\N^{n}$ pour tout $n\geqslant1$ et $\Q$ sont dénombrables.
math/2/application.txt · Dernière modification: 2020/05/12 00:27 par Alain Guichet