Outils pour utilisateurs

Outils du site


math:2:asymptote

Comportement asymptotique des fonctions

Branches infinies d'une courbe

Définition : Asymptote et direction parabolique

  • La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet pour asymptote verticale la droite d'équation $x=x_{0}$ si et seulement si :
    $$\ds\lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=\pm\infty$$
  • La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet pour asymptote horizontale la droite d'équation $y=\ell$ si et seulement si :
    $$\ds\lim_{x\to\pm\infty}{f(x)}=\ell$$
  • La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet pour asymptote oblique la droite d'équation $y=ax+b$ si et seulement si :
    $$\ds\lim_{x\to\pm\infty}{\left[f(x)-(ax+b)\right]}=0$$ les réels $a$ et $b$ se déterminant grâce à :
    $$\ds a=\lim_{x\to\pm\infty}{\frac{f(x)}{x}} \qquad\text{et}\qquad b=\lim_{x\to\pm\infty}{[f(x)-ax]}$$
  • La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet pour direction asymptotique la droite d'équation $y=ax$ si et seulement si :
    $$\ds\lim_{x\to\pm\infty}{\frac{f(x)}{x}}=a \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to\pm\infty}{\left[f(x)-ax\right]}=\pm\infty$$
  • La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet pour direction asymptotique la droite d'équation $x=0$ si et seulement si :
    $$\ds\lim_{x\to\pm\infty}{\frac{f(x)}{x}}=\pm\infty$$

Négligeabilité

Définition : Fonction négligeable devant une autre

Soit $f$ et $g$ deux fonctions.

  • Soit $x_{0}$ un réel tel que, ou bien $x_{0}\in I$, ou bien $x_{0}\notin I$ et $x_{0}$ est une extrémité de $I$. On dit que la fonction $f$ est négligeable devant la fonction $g$ au voisinage de $x_{0}$ si et seulement s'il existe une fonction $\varepsilon\colon I\to\R$ telle que :
    $$\ds\lim_{x\to x_{0}}{\varepsilon(x)}=0\quad\text{et}\quad\exists\alpha>0\;/\;\forall x\in I\cap[x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha],\; f(x)=\varepsilon(x)g(x)$$ Notation : $\ds f(x) \underset{x\to x_0}{=}o\left(g(x)\right)$.
    Dans le cas où $g$ ne s'annule pas sur $I$, c'est équivalent à :
    $$\ds\lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0$$
  • On suppose que $+\infty$ est une extrémité de $I$ (adapter si $-\infty$ est une extrémité). On dit que la fonction $f$ est négligeable devant la fonction $g$ au voisinage de $+\infty$ si et seulement s'il existe une fonction $\varepsilon\colon I\to\R$ telle que :
    $$\ds\lim_{x\to+\infty}{\varepsilon(x)}=0\quad\text{et}\quad\exists\alpha\in I\;/\;\forall x\geqslant\alpha,\; f(x)=\varepsilon(x)g(x)$$ Notation : $\ds f(x) \underset{x\to +\infty}{=}o\left(g(x)\right)$.
    Dans le cas où $g$ ne s'annule pas sur $I$, c'est équivalent à :
    $$\ds\lim_{x\to+\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0$$

Remarques

  • On a :
    $$\ds f(x) \underset{x\to x_0}{=}o\left(1\right)\;\iff\;\lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=0$$
  • Si $\ds f(x) \underset{x\to x_0}{=}o\left(g(x)\right)$ et si $f$ et $g$ ne s'annulent pas sur $I$ alors :
    $$\ds\frac{1}{g(x)} \underset{x\to x_0}{=} o\left(\frac{1}{f(x)}\right)$$

Théorème : Comparaisons usuelles

Soit $(a,b)\in\left]0,+\infty\right[^{2}$. On a :
$$\ds 1 \underset{x\to 0}{=}o\left(\ln^{b}(x)\right)$$ $$\ds \ln^{b}(x) \underset{x\to 0}{=}o\left(x^{a}\right)$$ $$\ds a>1\;\implies\;x^{b} \underset{x\to 0}{=}o\left(a^{x}\right)$$ $$\ds 0<a<b\;\implies\;\begin{cases} x^{a} \underset{x\to 0}{=}o\left(x^{b}\right) \\ a^{x} \underset{x\to0}{=}o\left(b^{x}\right) \end{cases}$$

Équivalence

Définition : Fonctions équivalentes

Soit $f$ et $g$ deux fonctions.

  • Soit $x_{0}$ un réel tel que, ou bien $x_{0}\in I$, ou bien $x_{0}\notin I$ et $x_{0}$ est une extrémité de $I$. On dit que la fonction $f$ est équivalente à la fonction $g$ au voisinage de $x_{0}$ si et seulement s'il existe une fonction $\varepsilon\colon I\to\R$ telle que :
    $$\ds\lim_{x\to x_{0}}{\varepsilon(x)}=0\quad\text{et}\quad\exists\alpha>0\;/\;\forall x\in I\cap[x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha],\; f(x)=(1+\varepsilon(x))g(x)$$Notation : $\ds f(x) \underset{x\to x_0}{\sim}g(x)$.
    Dans le cas où $g$ ne s'annule pas sur $I$, c'est équivalent à :
    $$\ds\lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=1$$
  • On suppose que $+\infty$ est une extrémité de $I$ (adapter si $-\infty$ est une extrémité). On dit que la fonction $f$ est équivalente à la fonction $g$ au voisinage de $+\infty$ si et seulement s'il existe une fonction $\varepsilon\colon I\to\R$ telle que :
    $$\ds\lim_{x\to+\infty}{\varepsilon(x)}=0\quad\text{et}\quad\exists\alpha\in I\;/\;\forall x\geqslant\alpha,\; f(x)=(1+\varepsilon(x))g(x)$$Notation : $\ds f(x) \underset{x\to +\infty}{\sim}g(x)$.
    Dans le cas où $g$ ne s'annule pas sur $I$, c'est équivalent à :
    $$\ds\lim_{x\to+\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=1$$

Remarques

  • Une comparaison doit toujours s'interpréter comme un quotient (et non une différence).
    Il est faut de croire que $f(x)\underset{x\to x_0}{\sim}g(x)\;\implies\;\lim_{x\to x_{0}}{(f(x)-g(x))}=0$. Exemple: $f(x)=x+1$ et $g(x)=x$ (écart constant non nul) et même $f(x)=x+\ln(x)$ et $g(x)=x$ (écart de limite infinie) au voisinage de l'infini.
  • On a :
    $$\ds f\sim g\;\iff\;\frac{f}{g}\to1\;\iff\;\frac{f}{g}-1\to0\;\iff\;\frac{f-g}{g}\to0\;\iff\;f-g=o(g)$$On s'autorise alors la notation: $f=g+o(g)$.
  • Seule la fonction nulle est équivalente à la fonction nulle.

Théorème

Si $\ell$ est un réel non nul alors :
$$\ds f(x) \underset{x\to x_0}{\sim} \ell\;\iff\;\lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=\ell$$

Théorème : Équivalents usuels au voisinage de 0

$$\ds\forall\alpha\in\R^{*},\;(1+x)^{\alpha}-1\underset{x\to0}{\sim}\alpha x$$ $$\ds\ln(1+x)\underset{x\to0}{\sim}x$$ $$\ds\mathrm{e}^{x}-1\underset{x\to0}{\sim}x$$ $$\ds\sin(x)\underset{x\to0}{\sim}x$$ $$\ds\cos(x)-1\underset{x\to0}{\sim}-\frac{1}{2}x^{2}$$ $$\tan(x)\underset{x\to0}{\sim}x$$

Théorème : Compatibilité de l'équivalence avec certaines opérations usuelles

  • Multiplication membre à membre de fonctions équivalentes : si $f_{1}\sim g_{1}$ et si $f_{2}\sim g_{2}$ alors $f_{1}f_{2}\sim g_{1}g_{2}$.
  • Composition par les fonctions puissances (et en particulier avec le passage à l'inverse) : si $\alpha\in\R$ et si $f\sim g$ (non nulles) alors $f^{\alpha}\sim g^{\alpha}$ (en particulier avec $\alpha=-1$).

Remarques

  • L'équivalence n'est pas compatible avec la somme.
    Exemple : $\ds 1+\frac{1}{x}\sim1$ et $\ds -1+\frac{1}{x}\sim-1$ mais $\ds \frac{2}{x}\not\sim0$ au voisinage de $+\infty$.
  • L'équivalence n'est pas compatible avec la fonction $\boldsymbol\ln$ (en 0).
    Exemple : $\ds 1+\frac{1}{x}\sim1+\frac{1}{x^{2}}$ mais $\ds\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\not\sim\ln\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)$.
  • L'équivalence n'est pas compatible avec la fonction $\boldsymbol\exp$ (en $+\infty$).
    Exemple : $x+1\sim x$ mais $\mathrm{e}^{x+1}\not\sim\mathrm{e}^{x}$.

Développement limité

Définition : Développement limité

Soit $n\in\N$.

  • Soit $x_{0}$ un réel tel que, ou bien $x_{0}\in I$, ou bien $x_{0}\notin I$ et $x_{0}$ est une extrémité de $I$. On dit que la fonction $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $x_{0}$ si et seulement si :
    $$\ds\exists P\in\R_n[X]\;/\; f(x) \underset{x \to x_0}{=}P\left(x-x_{0}\right)+o\left((x-x_{0})^{n}\right)$$
  • On suppose que $+\infty$ est une extrémité de $I$ (adapter si $-\infty$ est une extrémité). On dit que la fonction $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $+\infty$ si et seulement si :
    $$\ds\exists P\in\R_n[X]\;/\; f(x) \underset{x \to +\infty}{=}P\left(\frac{1}{x}\right)+o\left(\frac{1}{x^{n}}\right)$$

Théorème : Opérations sur les développements limités

On peut :

  • ajouter deux développements limités en les ajoutant terme à terme,
  • multiplier un développement limité par un réel en multipliant chaque terme par ce réel,
  • multiplier deux développements limités (multiplier les polynômes et tronquer au plus petit des deux ordres),
  • [hors programme] composer deux développement limités.

Théorème : Développement limités usuels

On a les développements limités à l'ordre $p\in\N$ suivants :
$$\ds\ln(1+x)\underset{x \to 0}{=} \sum_{k=1}^{p}{\frac{(-1)^{k-1}x^{k}}{k}}+o(x^{p})$$ $$\ds\mathrm{e}^{x} \underset{x \to 0}{=} \sum_{k=0}^{p}{\frac{x^{k}}{k!}}+o(x^{p})$$ $$\ds\forall\alpha\in\R^{*},\;(1+x)^{\alpha} \underset{x \to 0}{=} 1+\sum_{k=1}^{p}{\frac{\alpha\times(\alpha-1)\times\dots\times(\alpha-k+1)}{k!}x^{k}}+o(x^{p})$$ $$\ds\sin(x) \underset{x \to 0}{=} \sum_{0\leqslant2k\leqslant p-1}{\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+1}}+o(x^{p})$$ $$\ds\cos(x) \underset{x \to 0}{=} \sum_{0\leqslant2k\leqslant p}{\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}}+o(x^{p})$$

Remarque
En cas de doute, on revient systématiquement à la formule de Taylor-Young (voir plus loin).

math/2/asymptote.txt · Dernière modification: 2020/05/12 08:48 par Alain Guichet