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math:2:continuite

Continuité sur un intervalle

Définition

  • On dit qu'une fonction $f$ est continue sur $I$ si et seulement si elle est continue en tout point de $I$.
  • L'ensemble des fonctions continues sur $I$ se note : $\mathcal{C}^0(I)$ ou bien $\mathcal{C}^0(I,\R)$.

Exemple

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$. Montrer que $f$ est strictement monotone sur $I$ si et seulement si elle est injective sur $I$.

Théorème : Opérations sur les fonctions continues

  • L'ensemble $\mathcal{C}^0(I)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{A}^0(I,\R)$.
  • Le produit de deux fonctions continues sur $I$ est continu sur $I$.
  • Le quotient de deux fonctions continues sur $I$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $I$ est continu sur $I$.
  • Si $f$ est continue sur $I$ et si $g$ est continue sur $J\supset f(I)$ alors $g\circ f$ est continue sur $I$.

Théorème : Théorème des valeurs intermédiaires

On suppose $f$ continue sur $I$.

  • Soit $(a,b)\in I^{2}$ tel que $a<b$. Tout élément de $[f(a),f(b)]$ admet au moins un antécédent dans $[a,b]$ :
    $$\ds\forall y\in[f(a),f(b)],\;\exists x\in[a,b]\;/\; f(x)=y$$ou encore, pour tout $y\in[f(a),f(b)]$, l'équation $f(x)=y$ admet au moins une solution dans $[a,b]$.
  • En conséquence :
    • l'ensemble $f(I)$ est un intervalle de $\R$ (c'est à dire que l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle),
    • l'image du segment $[a,b]$ est un segment et les bornes sont atteintes :
      $$\ds\exists\alpha\in[a,b]\;/\; f(\alpha)=\min_{x\in[a,b]}f(x)$$ $$\ds\exists\beta\in[a,b]\;/\; f(\beta)=\max_{x\in[a,b]}f(x)$$

Théorème : Théorème de la bijection

On suppose $f$ continue et strictement monotone sur $I$. Alors :

  • $f$ est une bijection de $I$ dans $J=f(I)$, autrement dit :
    $$\ds\forall(a,b)\in I^{2},\;\forall y\in[f(a),f(b)],\;\exists!x\in[a,b]\;/\; f(x)=y$$
  • en notant $f^{-1}\colon J\to I$ la bijection réciproque, on a :
    • $f^{-1}$ est continue sur $J$ et a même sens de variation sur $J$ que $f$ sur $I$,
    • dans un repère orthonormé, les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

Exemple
Existence de la bijection réciproque des fonctions sinus (sur $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$), cosinus (sur $\left[0,\pi\right]$) et tangente (sur $\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$).

math/2/continuite.txt · Dernière modification: 2020/05/12 08:50 par Alain Guichet