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math:2:demo:taylor_reste_integral

Preuve : formule de Taylor avec reste intégral

On effectue une récurrence sur $n$. Si $n=0$ alors la relation est tout bonnement :
$$\ds f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t)\mathrm{d}t$$donc la propriété est vraie. Soit $n\geqslant0$ telle que la propriété est vraie. Soit $f$ de classe $\mathcal C^{n+2}$ sur $I$. Soit $(a,x)\in I^2$. Comme $f$ est aussi de classe $C^{n+1}$, on a (d'après l'hypothèse de récurrence) :
$$\ds f(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}+\int_{a}^{x}{\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)\mathrm d t}$$Les fonctions $t\mapsto -\dfrac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}$ et $f^{n+1}$ sont de classe $\mathcal C^1$ donc, par intégration par parties :
$$\begin{array}{rcl} \ds f(x) & = & \ds\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}+\left[-\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(t)\right]_a^x-\int_{a}^{x}{-\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)\mathrm d t} \\ & = & \ds\sum_{k=0}^{n+1}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}+\int_{a}^{x}{\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)\mathrm d t} \end{array}$$ce qui prouve l'hypothèse au rang $n+1$.

math/2/demo/taylor_reste_integral.txt · Dernière modification: 2020/05/10 21:31 (modification externe)