Produit scalaire

Exemples

1. Montrer que les applications suivantes sont des produits scalaires sur $E$ :
   1. $E=\R^{n}$ et, pour tous vecteurs $x=\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}$ et $y=\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n} \end{pmatrix}$ de $E$ :
      $$\ds\left\langle \vv{x}\mid\vv{y}\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n}$$ Ce produit scalaire est appelé produit scalaire canonique ou produit scalaire euclidien de $\R^{n}$.
   2. $E=\mathcal{C}^0([a,b])$ avec $a<b$ et, pour tout couple $(f,g)\in E^{2}$ : $$\ds \varphi(f,g)=\int_{a}^{b}{f(t)g(t)\mathrm{d}t}$$
   3. $E=\R[X]$ et, pour tout couple $(P,Q)\in E^{2}$ :
      $$\ds \left\langle P,Q\right\rangle =\int_{0}^{+\infty}{P(t)Q(t)\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t}$$
   4. $E=\R[X]$ et, pour tout couple $(P,Q)\in E^{2}$ :
      $$\ds \varphi(P,Q)=\int_{-1}^{1}{\frac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^{2}}}\mathrm{d}t}$$
   5. $E=\R_n[X]$ et, pour tout couple $(P,Q)\in E^{2}$ :
      $$\ds \left( P\mid Q\right) =\sum_{k=0}^{n}{P(k)Q(k)}$$
   6. $E=\mathcal{M}_n(\R)$ et, pour tout couple $(A,B)\in E^{2}$ :
      $$\ds\left\langle A\mid B\right\rangle =\mathrm{tr}\left({}^t\!AB\right)$$
2. On considère l'application $f$ définie pour $(\vv{x},\vv{y})=\left(\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3} \end{pmatrix}\right)\in\R^{3}\times\R^{3}$ par :
   $$f(\vv{x},\vv{y})=x_{1}y_{1}+6x_{2}y_{2}+3x_{3}y_{3}+2x_{1}y_{2}+2x_{2}y_{1}+3\lambda x_{1}y_{3}+3\lambda x_{3}y_{1}$$où $\lambda$ est un paramètre réel.
   1. Montrer que $f$ est une forme bilinéaire symétrique sur $\R^{3}$.
   2. Pour quelle(s) valeur(s) du réel $\lambda$, l'application $f$ est-elle un produit scalaire sur $\R^{3}$ ?

Remarques
Par abus de langage, on dit souvent que $E$ est un espace euclidien.