Définition
Soit $f\colon I\to\R$ et $x_{0}\in I$.
Remarque
On a toujours affaire à une forme indéterminée de limite pour obtenir un nombre dérivé.
Théorème
Soit $f\colon I\to\R$ et $x_{0}\in I$.
Définition
Soit $f\colon I\to\R$ et $x_{0}\in I$.
Remarque
Lorsque l'un de ces deux taux d'accroissement a pour limite l'infini, on parle de demi-tangente verticale.
Théorème
Soit $f\colon I\to\R$ et $x_{0}\in I$. Alors, $f$ est dérivable en $x_{0}$ si et seulement si $f$ est dérivable à gauche et à droite en $x_{0}$ et $f_{g}'(x_{0})=f_{d}'(x_{0})$, cette valeur commune étant alors égale à $f'(x_{0})$.
Définition
Soit $f\colon I\to\R$.
Théorème : Lien avec la continuité
Si $f\colon I\to\R$ est dérivable sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$ (la réciproque est fausse).
Théorème : Opérations sur les fonctions dérivables et de classe C^1
Théorème : Dérivée de la réciproque
Soit $f\colon I\to\R$. On suppose que $f$ est dérivable et strictement monotone sur $I$. On note: $J=f(I)$. Alors, $f^{-1}$ est dérivable sur $J'=\left\{ y\in J\,\mid\,\exists x\in I\;/\; f(x)=y,\; f'(x)\ne0\right\}$ et on a :
$$\ds\forall y\in J',\;\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}$$ou encore :
$$\ds\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'\left(x\right)}\qquad\text{avec}\quad x\in I,\quad y=f(x),\quad f'(x)\ne0$$
Remarque
Les fonctions trigonométriques réciproques ont pour fonction dérivée: $$\ds\forall x\in\left]-1,1\right[,\;\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$ $$\ds \forall x\in\left]-1,1\right[,\;\arccos'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$ $$\ds\forall x\in\R,\;\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$$
Théorème : Théorème de Rolle
On suppose que $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $\left]a,b\right[$ (au moins). Si $f(a)=f(b)$ (et en particulier si ces réels sont nuls) alors :
$$\ds\exists c\in\left]a,b\right[\;/\; f'(c)=0$$
Théorème : Égalité des accroissements finis, équivalent au théorème de Rolle
On suppose que $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $\left]a,b\right[$ (au moins). Alors :
$$\ds\exists c\in\left]a,b\right[\;/\; f'({c})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
Théorème : Inégalité des accroissements fini
On suppose que $f$ est dérivable sur $I$.
Théorème : Lien dérivée/variations
On suppose que $f$ est dérivable sur $\left]a,b\right[$.
Définition
Soit $f\colon I\to\R$ et $n\in\N^{*}$.
Théorème Opérations sur les fonctions de classe C^n et de classe C^∞
Soit $n\geqslant2$.
Définition
Remarques
Définition
On suppose que $f$ est dérivable sur $I$. On dit que $x_{0}$ est un point critique de $f$ si et seulement si $f'(x_{0})=0$.
Théorème : Condition nécessaire d'existence d'un extremum
Si $f$ est dérivable sur $I$ intervalle ouvert et si $f$ admet un extremum local en $x_{0}$ alors $x_{0}$ est un point critique de $f$.
Remarques
Théorème : Condition suffisante d'existence d'un extremum
<html><a name=“taylor_reste_integral”></a></html>
Théorème : Formule de Taylor avec reste intégral
Soit $n\in\N$. On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$. Alors :
$$\ds\forall(a,x)\in I^{2},\; f(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}+\int_{a}^{x}{\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)\mathrm{d} t}$$
Remarque : Égalité de Taylor-Lagrange
Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$. La formule de Taylor qui précède permet d'établir cette autre formule :
$$\ds\forall(a,x)\in I^{2},\;\exists c\in[a,x]\;/\; f(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}+\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)$$
Théorème : Inégalité de Taylor-Lagrange
Soit $n\in\N$. On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$ et que $|f^{(n+1)}|$ est majorée par un réel positif $M$ sur $I$. On a :
$$\ds\forall(a,x)\in I^{2},\;\left|f(x)-\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}\right|\leqslant M\frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}$$ Dans le cas où $|f^{(n+1)}|$ n'est pas majorée sur $I$, on peut remplacer (dans l'inégalité) le réel $M$ par le réel $\ds\max_{[a,x]}|f^{(n+1)}|$ qui dépend du choix des réels $a$ et $x$.
Théorème : Formule de Taylor-Young, admis
Soit $n\in\N$. On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur $I$. On a :
$$\ds\forall a \in I,\; f(x) \underset{x \to a}{=} \sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}+o((x-a)^{n})$$
Remarque :
Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ au voisinage de $x$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\frac{f(x+h)-f(x)}{h} & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{f(x)+f'(x)h+o(h)-f(x)}{h} \\ & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{f'(x)h+o(h)}{h} \\ & \underset{h\to0}{=} & f'(x)+o(1) \end{array}$$ Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ au voisinage de $x$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{[f(x)+f'(x)h+\frac12 f''(x)h^2+o(h^2)]-[f(x)-f'(x)h+\frac12 f''(x)h^2+o(h^2)]}{2h} \\ & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{2f'(x)h+o(h^2)}{2h} \\ & \underset{h\to0}{=} & f'(x)+o(h) \end{array}$$ On en déduit que l'approximation du nombre dérivé est bien meilleure par cette seconde méthode. On peut tester le code Scilab qui suit pour s'en convaincre :
function y=f(x) y=exp(x) endfunction function y=fprime(x) y=exp(x) endfunction h=0.1 // avec un pas plus petit, les différences seront moins visibles x=[0:h:5] ; n=length(x) ; y=feval(x,f) y1=[(y(2:n)-y(1:n-1))/h] // 1 case de moins que x (la dernière) y2=[(y(3:n)-y(1:n-2))/2/h] // 2 cases de moins que x (la première et la dernière) yprime=feval(x,fprime) plot2d(x(1:n-1),y1,2) // bleu plot2d(x(2:n-1),y2,3) // vert plot2d(x,yprime,5) // rouge