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Remarque
Il est illusoire de croire que si $u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}$ et s'il y a convergence de la série $\ds\sum{u_{n}}$ alors $\ds\sum_{n=0}^{+\infty}{u_{n}}\underset{n\to+\infty}{\sim}\sum_{n=0}^{+\infty}{v_{n}}$ (ce qui n'a aucun sens).
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$$\ds\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}\underset{n\to+\infty}{\sim}\ln(n)\qquad\text{et}\qquad\forall\alpha<1,\;\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^{\alpha}}}\underset{n\to+\infty}{\sim}\frac{n^{1-\alpha}}{1-\alpha}$$
Exemple