Dans tout ce chapitre, $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère.
Définitions : Limite en un point
Soit $x_{0}$ un réel tel que, ou bien $x_{0}\in I$, ou bien $x_{0}\notin I$ mais alors $x_{0}$ est une extrémité de $I$.
<html><a name=“unicite_limite_fonction”></a></html>
Théorème : Unicité
Si $f$ admet une limite en $x_{0}$ alors celle-ci est unique. De plus, en cas de continuité en $x_{0}$, cette limite vaut nécessairement $f(x_{0})$.
Remarque : Quelques limites usuelles en 0
On a :
$$\ds\lim_{x\to0}{\frac{\ln(1+x)}{x}}=1$$ $$\ds\lim_{x\to0}{\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}}=1$$ $$\ds\lim_{x\to0}{\frac{\sin(x)}{x}}=1$$
Définition : Limite en l'infini
On suppose que $+\infty$ (resp. $-\infty$) est une extrémité de $I$.
Théorème : Unicité
La limite en l'infini (si elle existe) est unique.
Remarque : Quelques limites usuelles en l'infini
On a :
$$\ds\lim_{x\to+\infty}{\frac{\ln(x)}{x}}=0$$ $$\ds\lim_{x\to+\infty}{\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}}=+\infty$$
Théorème : Limite par opérations usuelles
Somme | $-\infty$ | $\ell'$ | $+\infty$ |
---|---|---|---|
$+\infty$ | indét. | $+\infty$ | $+\infty$ |
$\ell$ | $-\infty$ | $\ell+\ell'$ | $+\infty$ |
$-\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | indét. |
Pour le produit, ne pas oublier la règle des signes :
Produit | $\pm\infty$ | $\ell'\ne0$ | $0$ |
---|---|---|---|
$\pm\infty$ | $\infty$ | $\infty$ | indét. |
$\ell\ne0$ | $\infty$ | $\ell\times\ell'$ | $0$ |
$0$ | indét. | $0$ | $0$ |
<html><a name=“limite_par_composition”></a></html>
Théorème : Limite par composition
Remarque
Le quotient de deux fonctions est le produit du numérateur par l'inverse du dénominateur …
Théorème : Limite par comparaison
Soit $f,g,h\colon I\to\R$ telles que :
$$\forall x\in I,\; g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)$$Soit $(\ell,\ell')\in\R^{2}$.
Définition
Soit $x_{0}\in\R$ tel que ou bien $x_{0}\in I$ ou bien $x_{0}\notin I$ et $x_{0}$ est une extrémité de $I$. On dit que la fonction $f$ admet le réel $\ell$ pour limite à gauche (resp. droite) en $x_{0}$ si et seulement si :
$$\ds\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0\;/\;\forall x\in I\cap\left[x_{0}-\alpha,x_{0}\right[\;(\text{resp.}\; x\in I\cap\left]x_{0},x_{0}+\alpha\right]),\;|f(x)-\ell|\leqslant\varepsilon$$Notation : $\ds\lim_{x\to x_{0}^{-}}{f(x)}=\ell$ (resp. $\ds\lim_{x\to x_{0}^{+}}{f(x)}=\ell$) (adapter cette définition pour une limite infinie).
Remarque
Si $x_{0}\notin I$ et $x_{0}$ est l'extrémité gauche (resp. droite) de $I$ alors limite à gauche (resp. droite) et limite en $x_{0}$ désignent la même notion.
Théorème : Lien avec la continuité
Soit $x_{0}\in I$. Alors, $f$ est continue en $x_{0}$ si et seulement si $f$ admet une limite à gauche en $x_{0}$, une limite à droite en $x_{0}$ et :
$$\ds\lim_{x\to x_{0}^{-}}{f(x)}=f(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}^{+}}{f(x)}$$
Théorème : Cas des fonctions monotones
On suppose que $f$ est croissante sur $I$ (adapter si $f$ est décroissante).