Table des matières

Comportement asymptotique des suites

Suites, Séries >	Suites	Cv, Dv	Comp Asymp	Séries	Termes >0	Signe qcq	Doubles

Comportement asymptotique des suites

Suites négligeables

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<a name=“negli”></a></html> Définition : Suite négligeable devant une autre suite> Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ et $(v_{n})_{n\geqslant p}$ deux suites réelles. On dit que la suite $(u_{n})$ est négligeable devant la suite $(v_{n})$ et on note $u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(v_{n}\right)$ si et seulement s'il existe une suite $(\varepsilon_{n})$ de limite 0 telle que :
$$\ds\exists n_{0}\geqslant p\;/\;\forall n\geqslant n_{0},\; u_{n}=\varepsilon_{n}v_{n}$$

Exemples

Soit $a<b$ réels. Montrer que $n^{a}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(n^{b}\right)$.
Soit $0<a<b$ réels. Montrer que $a^{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(b^{n}\right)$.
Montrer qu'une suite est négligeable devant une suite constante non nulle si et seulement si elle admet 0 pour limite (autrement dit, la notation $u_n\underset{n\to+\infty}{=}o\left(1\right)$ désigne une suite $(u_n)$ de limite nulle).
Montrer que si $u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(v_n\right)$ et si $v_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(w_n\right)$ alors $u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(w_n\right)$.

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<a name=“carac”></a></html> Théorème : Caractérisation> Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ et $(v_{n})_{n\geqslant p}$ deux suites réelles. On suppose que la suite $(v_{n})$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang. Alors :
$$\ds u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(v_n\right)\qquad\iff\qquad\lim_{n\to+\infty}{\frac{u_{n}}{v_{n}}}=0$$

Exemples
Soit $a\in\left]1,+\infty\right[$ et $b\in\left]0,+\infty\right[$. Montrer que :
$$1\underset{n\to+\infty}{=}o\left(\ln(n)\right)\qquad\ln(n)\underset{n\to+\infty}{=}o\left(n^b\right)\qquad n^{b}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(a^n\right)\qquad a^{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(n!\right)$$

Théorème : Compatibilité avec les opérations sur les suites

Soit $(u_{n})_{n\geqslant p},\;(v_{n})_{n\geqslant p},\;(w_{n})_{n\geqslant p},\;(t_{n})_{n\geqslant p}$ quatre suites réelles.

Si $u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(v_n\right)$ et si $w_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(t_n\right)$ alors $u_{n}w_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(v_nt_n\right)$.
On suppose que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ne s'annulent pas à partir d'un certain rang. Alors :
$$\ds u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(v_n\right)\qquad\implies\qquad\frac{1}{v_{n}}\underset{n\to+\infty}{=}o\left(\frac{1}{u_{n}}\right)$$

Suites équivalentes

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<a name=“equiv”></a></html> Définition : Suites équivalentes> Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ et $(v_{n})_{n\geqslant p}$ deux suites réelles. On dit que la suite $(u_{n})$ est équivalente à la suite $(v_{n})$ et on note $u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}$ si et seulement s'il existe une suite $(\alpha_{n})$ de limite 1 telle que :
$$\ds\exists n_{0}\geqslant p\;/\;\forall n\geqslant n_{0},\; u_{n}=\alpha_{n}v_{n}$$

Remarques

Dans la définition, on peut remplacer la suite $(\alpha_{n})$ de limite 1 par la suite $(1+\varepsilon_{n})$ avec $\lim\varepsilon_{n}=0.$
Il est faut de croire que $u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}\;\implies\;\ds\lim_{n\to+\infty}{(u_{n}-v_{n})}=0$.
Exemples : $u_{n}=n+1$ et $v_{n}=n$ (écart constant non nul) et même $u_{n}=n^{2}+n$ et $v_{n}=n^{2}$ (écart de limite infinie).
<html>Seule une suite stationnaire nulle est équivalente à la suite nulle.</html>

Exemple
On suppose que $u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}$ et que $v_{n}\geqslant0$ pour tout entier $n$. Montrer que $u_{n}\geqslant0$ à partir d'un certain rang.

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<a name=“carac”></a></html> Théorème : Caractérisation> Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ et $(v_{n})_{n\geqslant p}$ deux suites réelles. On suppose que la suite $(v_{n})$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang. Alors :
$$u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}\qquad\iff\qquad\ds\lim_{n\to+\infty}{\frac{u_{n}}{v_{n}}}=1$$En conséquence, si $\ell$ un réel non nul alors :
$$u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}\ell\qquad\iff\qquad\ds\lim_{n\to+\infty}{u_{n}}=\ell$$

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<a name=“usuel”></a></html> Théorème : Équivalents usuels> Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite de limite nulle. Alors :
$$\forall\alpha\in\R^{*},\;(1+u_{n})^{\alpha}-1\underset{n\to+\infty}{\sim}\alpha u_{n}$$ $$\ln(1+u_{n})\underset{n\to+\infty}{\sim}u_{n}$$ $$\exp({u_{n}})-1\underset{n\to+\infty}{\sim}u_{n}$$ $$\sin(u_{n})\underset{n\to+\infty}{\sim}u_{n}$$ $$\cos(u_{n})-1\underset{n\to+\infty}{\sim}-\dfrac{1}{2}u_{n}^{2}$$ $$\tan(u_{n})\underset{n\to+\infty}{\sim}u_{n}$$

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<a name=“equi_negli”></a></html> Théorème : Lien entre équivalence et négligeabilité> Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ et $(v_{n})_{n\geqslant p}$ deux suites réelles.

Si $u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}$ alors $u_{n}-v_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o(v_{n})$ ou encore $u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}v_{n}+o(v_{n})$.
Si $u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}o(v_{n})$ alors $v_{n}+u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}$.

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<a name=“compa”></a></html> Théorème : Compatibilité avec les opérations sur les suites> Soit $(u_{n})_{n\geqslant p},\;(v_{n})_{n\geqslant p},\;(w_{n})_{n\geqslant p},\;(t_{n})_{n\geqslant p}$ quatre suites réelles.

Si $u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}$ et si $w_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}t_{n}$ alors $u_{n}w_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}t_{n}$.
On suppose que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ne s'annulent pas à partir d'un certain rang. Alors :
$$u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}\qquad\implies\qquad\dfrac{1}{v_{n}}\underset{n\to+\infty}{\sim}\dfrac{1}{u_{n}}$$
Plus généralement, si $u_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}$ et si $\alpha\in\R$ alors $u_{n}^{\alpha}\underset{n\to+\infty}{\sim}v_{n}^{\alpha}$ (avec $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ne s'annulant pas à partir d'un certain rang dans le cas où $\alpha\leqslant0)$.

Remarques

<html>L'équivalence n'est pas compatible avec la somme.</html>
Exemple : $1+\dfrac{1}{n}\sim1$ et $-1+\dfrac{1}{n}\sim-1$ mais $\dfrac{2}{n}\not\sim0$.
<html>L'équivalence n'est pas compatible avec la fonction ln.</html>
Exemple : $1+\dfrac{1}{n}\sim1+\dfrac{1}{n^{2}}$ mais $\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\not\sim\ln\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right)$.
<html>L'équivalence n'est pas compatible avec la fonction exp.</html>
Exemple : $n+1\sim n$ mais $\mathrm{e}^{n+1}\not\sim \mathrm{e}^{n}$.

Développements limités

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<a name=“dl”></a></html> Définition : Développement limité> Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite réelle. Soit $k\in\N$. On dit que la suite $(u_{n})$ admet un développement limité à l'ordre $k$ (au voisinage de $+\infty$) si et seulement s'il existe un polynôme $P(X)$ de degré inférieur ou égal à $k$ de sorte que :
$$u_{n}\underset{n\to+\infty}{=}P\left(\dfrac{1}{n}\right)+o\left(\dfrac{1}{n^{k}}\right)$$

Théorème : Opérations sur les développements limités

On peut:

ajouter deux développements limités en les ajoutant terme à terme,
multiplier un développement limité par un réel en multipliant chaque terme par ce réel,
multiplier deux développements limités en multipliant les polynômes et en tronquant les termes au plus petit des deux degrés,
composer deux développement limités.

Théorème : Développements limités usuels

Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite de limite nulle. On a les développements limités à l'ordre $p\in\N$ suivants :

$$\ds\ln(1+u_{n})\underset{n\to+\infty}{=}\sum_{k=1}^{p}{\frac{(-1)^{k-1}u_{n}^{k}}{k}}+o\left(u_{n}^{p}\right)$$ $$\ds \mathrm{e}^{u_{n}}\underset{n\to+\infty}{=}\sum_{k=0}^{p}{\frac{u_{n}^{k}}{k!}}+o\left(u_{n}^{p}\right)$$ $$\ds\forall\alpha\in\R^{*},\;(1+u_{n})^{\alpha}\underset{n\to+\infty}{=}1+\sum_{k=1}^{p}{\frac{\alpha\times(\alpha-1)\times\dots\times(\alpha-k+1)}{k!}u_{n}^{k}}+o\left(u_{n}^{p}\right)$$ $$\ds\sin(u_{n})\underset{n\to+\infty}{=}\sum_{0\leqslant 2k\leqslant p-1}{\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}u_{n}^{2k+1}}+o\left(u_{n}^{p}\right)$$ $$\ds\qquad\cos(u_{n})\underset{n\to+\infty}{=}\sum_{0\leqslant2k\leqslant p}{\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}u_{n}^{2k}}+o\left(u_{n}^{p}\right)$$

Exemples

Déterminer un développement limité à l'ordre 3 de :
$$\ds\frac{1}{1+n}-\frac{1}{1-n^{2}}+\frac{1}{(1-n)^{2}}\qquad\tan\left(\frac{1}{n}\right)\qquad\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$
Déterminer un couple $(a,b)$ de réels tel que :
$$\ds\lim_{n\to+\infty}{\left[\sqrt{4n^{2}+n+1}-(an+b)\right]}=0$$Préciser alors un équivalent de cette suite.

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