Définition : Asymptote et direction parabolique
Définition : Fonction négligeable devant une autre
Soit $f$ et $g$ deux fonctions.
Remarques
Théorème : Comparaisons usuelles
Soit $(a,b)\in\left]0,+\infty\right[^{2}$. On a :
$$\ds 1 \underset{x\to 0}{=}o\left(\ln^{b}(x)\right)$$
$$\ds \ln^{b}(x) \underset{x\to 0}{=}o\left(x^{a}\right)$$
$$\ds a>1\;\implies\;x^{b} \underset{x\to 0}{=}o\left(a^{x}\right)$$
$$\ds 0<a<b\;\implies\;\begin{cases} x^{a} \underset{x\to 0}{=}o\left(x^{b}\right) \\ a^{x} \underset{x\to0}{=}o\left(b^{x}\right) \end{cases}$$
Définition : Fonctions équivalentes
Soit $f$ et $g$ deux fonctions.
Remarques
Théorème
Si $\ell$ est un réel non nul alors :
$$\ds f(x) \underset{x\to x_0}{\sim} \ell\;\iff\;\lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=\ell$$
Théorème : Équivalents usuels au voisinage de 0
$$\ds\forall\alpha\in\R^{*},\;(1+x)^{\alpha}-1\underset{x\to0}{\sim}\alpha x$$ $$\ds\ln(1+x)\underset{x\to0}{\sim}x$$ $$\ds\mathrm{e}^{x}-1\underset{x\to0}{\sim}x$$ $$\ds\sin(x)\underset{x\to0}{\sim}x$$ $$\ds\cos(x)-1\underset{x\to0}{\sim}-\frac{1}{2}x^{2}$$ $$\tan(x)\underset{x\to0}{\sim}x$$
Théorème : Compatibilité de l'équivalence avec certaines opérations usuelles
Remarques
Définition : Développement limité
Soit $n\in\N$.
Théorème : Opérations sur les développements limités
On peut :
Théorème : Développement limités usuels
On a les développements limités à l'ordre $p\in\N$ suivants :
$$\ds\ln(1+x)\underset{x \to 0}{=} \sum_{k=1}^{p}{\frac{(-1)^{k-1}x^{k}}{k}}+o(x^{p})$$
$$\ds\mathrm{e}^{x} \underset{x \to 0}{=} \sum_{k=0}^{p}{\frac{x^{k}}{k!}}+o(x^{p})$$
$$\ds\forall\alpha\in\R^{*},\;(1+x)^{\alpha} \underset{x \to 0}{=} 1+\sum_{k=1}^{p}{\frac{\alpha\times(\alpha-1)\times\dots\times(\alpha-k+1)}{k!}x^{k}}+o(x^{p})$$
$$\ds\sin(x) \underset{x \to 0}{=} \sum_{0\leqslant2k\leqslant p-1}{\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+1}}+o(x^{p})$$
$$\ds\cos(x) \underset{x \to 0}{=} \sum_{0\leqslant2k\leqslant p}{\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}}+o(x^{p})$$
Remarque
En cas de doute, on revient systématiquement à la formule de Taylor-Young (voir plus loin).